Nous étudions dans l'anneau Fq[Xo, X1, ..., Xm] des polynômes à m + 1 variables et à coefficients dans le corps fini à q éléments, l'idéal homogène J engendré par les polynômes homogènes qui s'annulent sur tout l'espace. Cet idéal s'introduit naturellement lors de l'étude des codes de Reed-Muller projectifs ([7], [8]). Nous donnons une résolution libre du quotient Fq [Xo, ..., Xm]/J en utilisant le complexe de Eagon et Northcott [4] qui généralise le complexe de Koszul [5]. Ceci permet en particulier de calculer directement les dimensions des composantes homogènes de l'idéal.