Diagonalization and rationalization of algebraic Laurent series

[Diagonalisation et rationalisation des séries algébriques de Laurent]

Adamczewski, Boris ; Bell, Jason P.

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 46 (2013), p. 963-1004 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous démontrons une version quantitative d’un résultat de Furstenberg [20] et Deligne [14] : la diagonale d’une série formelle algébrique de plusieurs variables à coefficients dans un corps de caractéristique non nulle est une série formelle algébrique d’une variable. Comme conséquence, nous obtenons que, pour tout nombre premier $p$, la réduction modulo $p$ de la diagonale d’une série formelle algébrique de plusieurs variables $f$ à coefficients entiers est une série formelle algébrique de degré au plus $p^{A}$ et de hauteur au plus $Ap^{A}$, où $A$ est une constante effective ne dépendant que du nombre de variables, du degré de $f$ et de la hauteur de $f$. Cela répond à une question soulevée par Deligne [14].

Abstract

We prove a quantitative version of a result of Furstenberg [20] and Deligne [14] stating that the diagonal of a multivariate algebraic power series with coefficients in a field of positive characteristic is algebraic. As a consequence, we obtain that for every prime $p$ the reduction modulo $p$ of the diagonal of a multivariate algebraic power series $f$ with integer coefficients is an algebraic power series of degree at most $p^{A}$ and height at most $Ap^{A}$, where $A$ is an effective constant that only depends on the number of variables, the degree of $f$ and the height of $f$. This answers a question raised by Deligne [14].

Détail

Publié le : 2013-01-01
DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2207
Classification:  13F25,  11B85,  11J85,  11T99,  34M99,  05A15,  33E99
Mots clés: diagonales de fonctions algébriques, séries formelles, séries de Laurent à plusieurs variables, G-fonctions, réduction modulo $p$

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