Théorie des distributions à valeurs vectorielles. I
Schwartz, Laurent
Annales de l'Institut Fourier, Tome 7 (1957), p. 1-141 / Harvested from Numdam

Ce travail a pour but l’extension aux distributions à valeurs vectorielles des principales propriétés des distributions scalaires (Théorie des distributions, Paris, Hermann, 1950–51, et nouvelle édition du tome I, 1957).

Soit E un espace vectoriel topologique localement convexe séparé quasi-complet. L’espace 𝒟 (E) des distributions sur R n à valeurs dans E est par définition l’espace (𝒟;E) des applications linéaires continues de 𝒟 dans E, 𝒟 étant l’espace des fonctions numériques indéfiniment dérivables à support compact sur R n . On peut remplacer 𝒟 par d’autres espaces : , 𝒮 , etc...

Le chapitre I étudie toutes les opérations ne faisant intervenir qu’une distribution vectorielle et une ou plusieurs distributions scalaires.

Le paragraphe 1 définit un espace LεM associé à deux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés arbitraires ; alors 𝒟 (E) n’est autre que 𝒟 εE. Si est un sous-espace de 𝒟 , muni d’une topologie plus fine que la topologie induite, on définit alors le sous-espace. (E) de 𝒟(E) comme étant εE. Si T (𝒟;E), sa transformée t T est une application linéaire continue de E c dans 𝒟 (E c est le dual de E, muni de la topologie de la convergence compacte). t T (e ) se notera aussi T ,e , pour e E . Alors on dira qu’une distribution T 𝒟 (E) appartient scalairement à appartient à (E) ; les espaces de distribution 𝒟,𝒟 ,, ,𝒮,𝒮 , ont la propriété ε.

Soient , , deux espaces de distributions en dualité (par exemple 𝒮,𝒮 ). Alors si S, T , on peut définir un produit scalaire S·T, nombre complexe. Si maintenant S (E), T , on peut définir S ·TE, et cette extension du produit scalaire a les propriétés d’hypocontinuité qu’on attend.

On peut de même étendre le produit multiplicatif, et définir par exemple αT 𝒮 (E) pour α𝒪 M , T 𝒮 (E), et le produit de convolution et définir par exemple S*T 𝒮 (E) pour S𝒪 c , T 𝒮 (E). L’image Fourier d’une distribution tempérée T 𝒮 (E) se définit par T (γ)=T (ϕ) pour toute ϕ𝒮, ou par T ,e =T ,e pour tout e E  ; la transformation de Fourier ainsi étendue échange multiplication et convolution.

Le chapitre I étudie longuement le cas où E est lui-même un espace de distributions (théorie des noyaux). Si =𝒟 L 1 , E quelconque T 𝒟 L 1 (E) est dite sommable sur R n  ; si =(𝒟 L 1 ) x et E=𝒟 y , T(D L 1 ) x (𝒟 y ) est dite partiellement sommable en x. Diverses applications aux opérations définies antérieurement sont étudiées.

Le chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologiques sur un produit tensoriel LM ; on note ces topologies par L λ M, où λ est l’une des 5 lettres t,γ,β,π,ε. Soient alors L,M,U,V, 4 espaces vectoriels quasi-complets.

Pour ξL λ U, ηM t V, on peut définir “un produit croisé” Γ μ,λ (ξ,η)(L μ M) ε (U λ V), dont on étudie systématiquement les propriétés.

Plus généralement si ϕ,χ,ψ,ω, sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour ξL ϕ U, ηM χ V, un produit croisé appartenant à (L ψ M) ε (U ω V).

Ce produit croisé peut être appliqué aux différentes produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.

Soient E, F, G, 3 espaces de Banach, et soit B une application bilinéaire continue de E×F dans G. Soient d’autre part ,𝒦,, 3 espaces de distributions, et soit U une application bilinéaire hypocontinue (S·TST de ×𝒦 dans (par exemple le produit scalaire S·T si 𝒦= , = corps des scalaires ; le produit multiplicatif si =𝒮 , 𝒦=O M , =𝒮  ; le produit de convolution si =𝒮 , 𝒦=O c , =𝒮 . Alors, si l’espace est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé S B T (G), pour 𝒮 (E), T 𝒦(F) ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.

@article{AIF_1957__7__1_0,
     author = {Schwartz, Laurent},
     title = {Th\'eorie des distributions \`a valeurs vectorielles. I},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     volume = {7},
     year = {1957},
     pages = {1-141},
     doi = {10.5802/aif.68},
     mrnumber = {21 \#6534},
     zbl = {0089.09601},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1957__7__1_0}
}
Schwartz, Laurent. Théorie des distributions à valeurs vectorielles. I. Annales de l'Institut Fourier, Tome 7 (1957) pp. 1-141. doi : 10.5802/aif.68. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1957__7__1_0/

[1] Bourbaki. Espaces vectoriels topologiques. Chapitres I et II, Paris, Hermann, 1953. | Zbl 0050.10703

[2] Bourbaki. Espaces vectoriels topologiques. Chapitres III, IV, V, Paris Hermann, 1955. | Zbl 0066.35301

[3] Bourbaki. Topologie générale. Chapitre X, Paris, Hermann, 1949. | Zbl 0036.38601

[4] Bourbaki. "Sur certains espaces vectoriels topologiques". Annales de l'Institut Fourier, tome II, 1950, p. 5-16. | Numdam | MR 13,137d | Zbl 0042.35302

[5] Bourbaki. Topologie générale. Chapitres I et II, Paris, Hermann, 1951.

[6] Bourbaki. Intégration. Chapitres I, II, III, IV, Paris, Hermann, 1952. | Zbl 0049.31703

[1] Bruhat. Sur les représentations induites des groupes de Lie, Paris, Gauthiers-Villars, 1956. | Numdam | MR 18,907i | Zbl 0074.10303

[1] Dieudonné-Schwartz. "La dualité dans les espaces (F) et (LF)". Annales de l'Institut Fourier, tome I, 1949, p. 61-101. | Numdam | Zbl 0035.35501

[1] Garnir. "Sur la transformation de Laplace des distributions". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, tome 234, 1952, p. 583-585. | MR 13,751f | Zbl 0046.11403

[1] Grothendieck. " Sur la complétion du dual d'un espace localement convexe ". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, tome 230, 1950, p. 605-606. | MR 12,715b | Zbl 0034.37401

[2] Grothendieck. " Sur les espaces (F) et (DF) ". Summa Brasiliensis Mathematicae, volume 3, 1954, p. 57-123. | MR 17,765b | Zbl 0058.09803

[3] Grothendieck. " Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires ". Annales de l'Institut Fourier, tome IV, 1952, p. 73-112. | Numdam | MR 15,879b | Zbl 0055.09705

[4] Grothendieck. " Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires ". Préliminaires et chapitre I, Mémoirs of the American Mathematical Society, n° 16, 1955. | MR 17,763c | Zbl 0064.35501

[5] Grothendieck. " Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires ", Chapitre II, Memoirs of the American Mathematical Society, n° 16, 1955. | MR 17,763c | Zbl 0064.35501

[6] Grothendieck. " Critères de compacité dans les espaces fonctionnels généraux ". American Journal of Mathematics, volume LXXIV, 1952, p. 168-186. | MR 13,857e | Zbl 0046.11702

[1] Koethe. " Uber die Vollständigkeit einer Klasse lokalkonvexer Raume ". Mathematische Zeitschrift, volume 52, 1950, p. 627-630. | Zbl 0036.07901

[1] Lions. " Problèmes aux limites en théorie des distributions ". Acta Mathematica, tome 94, 1955, p. 13-153. | MR 17,745d | Zbl 0068.30902

[1] De Rham. " Variétés différentiables. Formes, courants, formes harmoniques ". Paris, Hermann, 1955. | MR 16,957b | Zbl 0065.32401

[1] Schwartz. " Espaces de fonctions différentiables à valeurs vectorielles ". Journal d'Analyse Mathématique, Jérusalem, volume IV, 1954-1955, p. 88-148. | Zbl 0066.09601

[2] Schwartz. " Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires ". Séminaire, Institut Henri-Poincaré, 1953-1954.

[3] Schwartz. " Transformation de Laplace des distributions ". Communications du Séminaire Mathématique de l'Université de Lund, tome supplémentaire dédié à Marcel Riesz (1952), p. 196-206. | MR 14,639a | Zbl 0047.34903

[4] Schwartz. " Théorie des Distributions ", tome I, Paris, Hermann, 1957. | Zbl 0078.11003

[5] Schwartz. " Théorie des Distributions ", tome II, Paris, Hermann, 1951. | Zbl 0042.11405

[6] Schwartz. " Théorie des noyaux ". Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1950, volume I, p. 220-230. | Zbl 0048.35102