Cette thèse comporte trois parties.La première décrit la constitution de l'écriture symbolique mathématique, pour l'essentiel achevée avec la Géométrie de Descartes. Dans la seconde partie, l'auteur examine certains motifs "transcendantaux" de la connaissance organisés par le nouveau système. Enfin, il analyse le rôle de la symbolique nouvelle dans l'invention et la création d'objets.La première partie, "Le système", décrit la naissance du symbolique, entraînant l'organisation de deux registres, combinatoire et signifiant. Tout s'est joué entre 1591 et 1637, c'est à dire entre l'Isagoge de Viète et la Géométrie de Descartes. Après avoir décrit, de Diophante à Cardan les systèmes rudimentaires préalables, grecs puis médiévaux, tel le cossique avec ses apories, l'auteur analyse les six points qui se révélèrent essentiels à cette constitution : la représentation du requis (la ou les inconnues), du donné (avec pour conséquence la "littéralisation" du texte), celle des opérations (par le moyen des assembleurs), des puissances (l'exponentielle cartésienne), de la mise en relation par égalité (tel la 'Boucle'cartésienne), enfin la ponctuation du texte symbolique. Sur trois de ces rubriques, la contribution de Descartes fut décisive. Ainsi, de Viète à Descartes, l'écriture symbolique mathématique s'est constituée, revêtant les aspects principaux de sa structure actuelle.La seconde partie "Symbolique et invention" est d'abord organisée autour de Leibniz et de sa rencontre en 1676 avec l'Epistola Prior de Newton et un lot de questions combinatoires et signifiantes. Le chapitre "Charactéristique et Nouveau Calcul" décrit Leibniz créant son Algorithme fondamental, initialement par le seul "jeu combinatoire" des substitutions, hors de toute signification. Dans "L'Art combinatoire. Substitutions et métamorphoses", le concept s'élargit, parvenant à sa forme moderne : un outil de l'invention mathématique ancrée dans le symbolique. "Formes sans significations" décrit enfin un méta-procédé de construction d'objets à partir de leur "forme", d'abord analysée dans les échanges de 1676 entre Leibniz et Newton, puis dans la création du corps des nombres complexes dénouant l'énigme des "quantités imaginaires" de Bombelli.La méthodologie se compose du choix des "canons électifs" et de la procédure canonique. Quant à l'énoncé du "principe", il est simplement le suivant : "tout objet, toute formule mathématique, apparemment en soi, peut le cas échéant être regardé comme une instance seulement d'un objet ou un canon plus vaste qui le recouvre et le prolonge sur le plan signifiant, cependant que sa forme symbolique reste inchangée".L'auteur examine ensuite diverses réalisations de ce schéma épistémologique, tant chez Euler (exponentielle complexe et "factorielle" neuve) que récentes (distributions de Laurent Schwartz), ainsi qu'un exemple tiré de sa recherche personnelle (quasi-ensembles).L'auteur évoque les problèmes soulevés par la terminologie et propose des solutions. Le discours mathématique quotidien, écrit ou parlé, s'accompagne d'une confusion entre signifiant et combinatoire, ou encore chose et symbole, une distinction qui n'est pas usuellement inscrite, même dans l'écrit, et toujours de cette même façon : c'est le représentant qui est confondu avec le représenté. Une confusion délibérée qui vient s'accomplir dans la complète absence d'une terminologie combinatoire" pour le vocabulaire des mathématiques usuelles et opératoires (livres, manuels, articles), qui fait preuve sur ce point d'une effarante imprécision quant au registre véritablement concerné. Ainsi, de "terme" ou de "membre" (d'une équation), d'"expression", de "couple", ou encore de "formule", qui peut renvoyer indifféremment dans le même texte au contenu (un résultat, le plus souvent universel) mais aussi à la forme (une concaténation de signes). Le vocabulaire usuel des mathématiques suscite ainsi à l'évidence un nombre considérable de semblables situations. Or la division signifiant-signifié paraît indispensable à toute analyse épistémologique, historique, ou didactique. L'auteur s'est donc donné pour tâche de pallier dans un certain nombre de cas le manque de termes spécifiques en provenance du registre combinatoire.Notes : L'ouvrage comporte de nombreuses références, en particulier aux travaux de : Bernoulli, Bombelli, Cajori, Cardan, Diophante, Euclide, Euler, Heath, Newton, Stiefel, Tschirnaus, Viète, Wallis.Il comporte deux types d'index : l'un des auteurs, l'autre des sujets.