Cette thèse est consacrée au problème de combinatoire algébrique appelée conjecture n!.
Plus explicitement, on étudie la structure de certains espaces notés M_mu et indexés par les partitions mu de l'entier n. Chaque espace M_mu est le cône de dérivation d'un polynôme Delta_mu, généralisant en deux alphabets le déterminant de Vandermonde. Le coeur de ce travail, motivé par l'interprétation de certains polynômes de Macdonald en termes de multiplicité des représentations irréductibles du S_n-module M_mu, est la conjecture n!, énoncée en 1991 par A. Garsia et M. Haiman et récemment prouvée par ce dernier.
On s'intéresse ici tout d'abord à l'explicitation de bases monomiales des espaces M_mu. Cette approche est très liée à l'étude de l'idéal annulateur de Delta_mu et nous conduit à introduire certains opérateurs de dérivation, dits opérateurs de sauts. On obtient une base monomiale explicite et une description de l'idéal annulateur pour les partitions en équerres, et pour le sous-espace en un alphabet M_mu(X) avec une partition mu quelconque.
Les opérateurs de sauts se révèlent cruciaux pour l'introduction et l'étude de généralisations de la conjecture n!. Dans le cas des partitions trouées (approche récursive de la conjecture n!), l'obtention d'une base explicite du sous-espace en un alphabet permet de traiter une spécialisation de la fondamentale récurrence à quatre termes. Dans le cas des diagrammes à plusieurs trous, l'introduction de sommes de cônes de dérivation permet d'énoncer une conjecture généralisant la conjecture n!, supportée par l'obtention d'une borne supérieure et la structure du sous-espace en un alphabet.