Mathematical study of stochastic models of evolution belonging to the ecological theory of adaptive dynamics

Champagnat, Nicolas

HAL, tel-00091929 / Harvested from HAL

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude probabiliste de modèles écologiques appartenant à la récente théorie des "dynamiques adaptatives". Après avoir précisé et généralisé le cadre et l'heuristique biologique de ces modèles, nous obtenons une justification microscopique d'un modèle d'évolution par sauts à partir d'un système de particules en interaction à valeurs mesure, décrivant la dynamique de la population à l'échelle individuelle. Il s'agit d'un résultat de séparation d'échelles de temps lié à deux asymptotiques : mutations rares et grande population. Ensuite, nous retrouvons une équation différentielle ordinaire connue sous le nom d'"équation canonique des dynamiques adaptatives" en appliquant une asymptotique de petits sauts au processus précédent. Cette asymptotique nous conduit à introduire un modèle d'évolution par diffusion comme approximation diffusion du processus de saut, dont les coefficients présentent une mauvaise régularité : dérive discontinue et diffusion dégénérée aux mêmes points. Nous examinons d'abord l'existence faible, l'unicité en loi et la propriété de Markov forte pour ces processus, questions liées au problème d'atteinte de certains points isolés de l'espace. Enfin, nous démontrons un principe de grandes déviations pour ces diffusions qui permet d'étudier le temps et le lieu de sortie d'un domaine attracteur --- question biologique fondamentale.

Détail

Publié le : 2004-12-06
Classification:  models of evolution,  adaptive dynamics,  interacting particle systems,  measure-valued processes,  time scale separation,  jump processes,  degenerate diffusions,  large deviations,  problem of diffusion exit from a domain,  polarity of isolated points,  weak existence,  uniqueness in law,  strong Markov property,  modèles d'évolution,  dynamiques adaptatives,  système de particules en interaction,  processus à valeurs mesure,  séparation d'échelles de temps,  processus de sauts,  diffusion dégénérée,  grandes déviations,  problème de sortie de domaine,  problème d'atteinte de points isolés,  existence faible,  unicité en loi,  propriété de Markov forte,  [MATH]Mathematics [math],  [SDV.EE]Life Sciences [q-bio]/Ecology, environment