L'etude et la comprehension de phenomenes naturels qu'il
semble difficile de predire, tels les
tremblements de terre et les raz de maree intriguent depuis quelques
temps un certain nombre de physiciens. En effet, il semble que les
modeles classiques bases sur des fonctions d'etat continues
peuvent difficilement expliquer les phenomenes observes.
En 1987, Bak, Tang et Wiesenfeld introduisent un modele base
sur un automate particulier dont l'etude experimentale montre
des caracteristiques proches de celles observees pour des
tremblements de terre. Cet automate est appele automate du tas de sable.
En 1990, Dhar, Ruelle, Sen et
Verma etudient les proprietes mathematiques
de l'automate du tas de sable. Cet article jette les bases d'une théorie algebrique et combinatoire des
etats critiques du systeme en montrant que ceux-ci forment un
groupe abelien fini.
Cette these porte essentiellement sur l'etude de ce groupe d'un
point de vue algorithmique, combinatoire et algebrique. Nous
etudions dans un premier temps la complexite de l'operateur de
groupe. Puis nous etudions le groupe sur quelques familles de
graphes connues avant de montrer que le groupe d'un graphe planaire
est isomorphe au groupe de chacun de ses duaux geometriques.
Nous montrons comment associer à un groupe abelien fini un
idéal de polynomes et dans le cas du groupe du Tas de Sable, nous
donnerons une caracterisation de l'operateur de groupe en terme de
reduction de polynome.