Nous nous sommes penchés sur différents aspects des problèmes
d'optimisation stochastique qui, à notre connaissance, ont été peu
étudiés. Ainsi, nous nous sommes intéressés au problème de l'effet dual,
puis à la discrétisation des contraintes de mesurabilité, à la
résolution numérique de problèmes avec contraintes en information statique et enfin,
nous avons étudié les conditions d'optimalité d'un problème
d'optimisation stochastique, le but recherché étant de mieux
comprendre comment intervient la contrainte de mesurabilité dans la
caractérisation de la (ou des) solution(s) optimale(s). Notre approche
numérique du problème est originale de deux points de vue :
Elle utilise les topologies sur l'espace des sigma-algèbres
pour mesurer la perte d'information due à la discrétisation de la
contrainte de mesurabilité. L'étude de cet espace nous a permis entre
autres d'apporter de nouveaux résultats qui constituent des éléments
essentiels dans notre étude~;
Nous montrons que l'erreur de discrétisation provient de la
contribution de deux termes d'erreur : une erreur issue de la
discrétisation de la contrainte de mesurabilité et une autre erreur
issue de l'approximation de l'espérance.
Nous donnons dans ce mémoire des résultats asymptotiques de
convergence d'une suite de problèmes discrets vers le problème
d'origine. Nous avons également, sur des problèmes particuliers, des
résultats de type Lipschitz sur la fonction valeur. Par ailleurs,
l'étude des conditions d'optimalité nous a permis d'obtenir deux
possibilités différentes d'approche d'un problème de commande optimale
stochastique.