On a class of schemes with line bundles actions

DUBOULOZ, Adrien

HAL, tel-00007733 / Harvested from HAL

Résumé

Pour une variété affine S définie sur un corps k de caracteristique nulle, il y a une correspondence bijective entre les actions algébriques du groupe additif k+=(k,+) sur S et les dérivations localement nilpotentes de l'algèb re des fonctions régulières sur S. Dans cette thèse, nous transposons cette équi valence entre actions et dérivations à la situation plus générale où π:S → X est un schéma de base X donnée, admettant des actions d'un fibré en droites p:L → X sur X. Nous étudions en détail une sous-classe de schémas S de ce type, ayant la propriété d'être muni d'une structure de fibré principal homogène sous l'action d'un second fibré en droites p':L' → Y sur un X-schéma δ:Y → X, de telle sorte que l'action de δ*L sur S se factorise via celle de L'. Nous les appelons schémas de Danielewski-Fieseler. Nous donnons plusieurs procédés de construction de ces schémas. En particulier, lorsque X est affine, nous décrivons un algorithmique permettant d'obtenir des plongements explicites d'un schéma de ce type dans un espace affine relatif de base X. Dans un second temps, nous étudions la situation où le schéma de base X est une droite affine sur un corps k de caractéristique nulle. Dans ce cas, nous établissons qu'un sc héma de Danielewski-Fieseler X est déterminé de manière unique par la donnée combinatoire d'un arbre pondéré. Nous donnons une classification de ces schémas en fonction des arbres associés. Finalement, nous caractérisons les schémas de ce type qui admettent plusieurs actions du groupe additif k+ avec orbites générales distinctes.

Détail

Publié le : 2004-10-20
Classification:  Additive group actions,  torsors under lines bundles,  locally nilpotent derivations,  equivariant affine modifications,  Danielewski surfaces,  Makar-Limanov invariant,  Actions de groupes additifs,  torseurs sous un fibré en droites,  dérivations localement nilpotentes,  modifications affines équivariantes,  surfaces de Danielewski,  invariant de Makar-Limanov,  [MATH]Mathematics [math]