Dans cette thèse, on s'intéresse à l'arithmétique des corps de fonctions et à leurs applications à la cryptologie. Tout d'abord, on présente des résultats classiques et généraux sur les polynômes irréductibles: tests d'irréductibilité, dénombrement des polynômes irréductibles, et construction par composition ou récurrence. Ensuite, on rappelle les propriétés élémentaires des corps de nombres $p$-adiques, la formule donnant le discriminant d'un trinômial, le théorème de Swan ainsi qu'une application: il n'existe pas de trinômial irréductible sur $(\bf F)_2$ de degré $n$ divisible par huit. On applique alors ces méthodes aux pentanômiaux. Ensuite, on présente la théorie générale des modules de Drinfeld sur $A=(\bf F)_q [T]$ et on dresse une liste d'analogie entre courbes elliptiques et modules de Drinfeld: structure des points de torsion, isogénies et théorème de Hasse. En utilisant des techniques élémentaires on donne une description explicite des points de torsions dans $A$ lorsque le module de Drinfeld est entier, ainsi qu'une borne unforme pour la torsion dans les extensions entières finies de $A$. Enfin, dans le dernier chapitre, on s'intéresse aux modules de Drinfeld sur un corps fini et leurs applications à la cryptologie.