Contributions to the numerical analysis of quasi-Monte Carlo methods

Coulibaly, Ibrahim

HAL, tel-00004933 / Harvested from HAL

Résumé

Les méthodes de type quasi-Monte Carlo sont des versions déterministes des méthodes de Monte Carlo. Les nombres aléatoires sont remplacés par des nombres déterministes qui forment des ensembles ou des suites à faible discrepance, ayant une meilleure distribution uniforme. L'erreur d'une méthode quasi-Monte Carlo dépend de la discrepance de la suite utilisée, la discrepance étant une mesure de la déviation par rapport à la distribution uniforme. Dans un premier temps nous nous intéressons à la résolution par des méthodes quasi-Monte Carlo d'équations différentielles pour lesquelles il y a peu de régularité en temps. Ces méthodes consistent à formuler le problème avec un terme intégral pour effectuer ensuite une quadrature quasi-Monte Carlo. Ensuite des méthodes particulaires quasi-Monte Carlo sont proposées pour résoudre les équations cinétiques suivantes : l'équation de Boltzmann linéaire et le modèle de Kac. Enfin, nous nous intéressons à la résolution de l'équation de la diffusion à l'aide de méthodes particulaires utilisant des marches quasi-aléatoires. Ces méthodes comportent trois étapes : un schéma d'Euler en temps, une approximation particulaire et une quadrature quasi-Monte Carlo à l'aide de réseaux-$(0,m,s)$. A chaque pas de temps les particules sont réparties par paquets dans le cas des problèmes multi-dimensionnels ou triées si le problème est uni-dimensionnel. Ceci permet de démontrer la convergence. Les tests numériques montrent pour les méthodes de type quasi-Monte Carlo de meilleurs résultats que ceux fournis par les méthodes de type Monte Carlo.

Détail

Publié le : 1997-11-03
Classification:  quasi-Monte Carlo methods,  particle methods,  low discrepancy sequences,  $(t,  s)$-sequences and $(t,  m,  s)$-nets,  kinetic equations,  ordinary differential equations,  diffusion equation.,  méthodes quasi-Monte Carlo,  méthodes particulaires,  suites à faible discrepance,  suites-$(t,  s)$ et réseaux-$(t,  s)$,  équations cinétiques,  équations différentielles,  équation de la diffusion,  [INFO.INFO-MO]Computer Science [cs]/Modeling and Simulation,  [MATH]Mathematics [math]