On s'intéresse aux groupes de cohomologie à support de faisceaux sur des variétés algébriques. On étudie surtout, pour des fibrés en droites sur des variétés où opère un groupe réductif $G$, la cohomologie à support dans certaines sous-variétés invariantes par l'action d'un sous-groupe de Borel de $G$. On obtient ainsi des représentations de l'algèbre de Lie de $G$ que l'on analyse : on en donne des filtrations dont le gradué associé fait apparaître des ``modules de Verma généralisés''. Grâce au complexe de Grothendieck-Cousin, cette étude permet de retrouver le théorème de Borel-Weil-Bott sur les variétés de drapeaux et aussi de déterminer tous les groupes de cohomologie des fibrés en droites sur les compactifications $G \times G-$équivariantes de $G$ (en particulier sur les compactifications magnifiques). Cela généralise la description bien connue des groupes de cohomologie des fibrés en droites sur les variétés toriques complètes.
Publié le : 2002-12-20
Classification:
cohomologie à support,
variétés sphériques,
variétés toriques,
compactifications de groupes,
complexe de Grothendieck-Cousin,
modules de Verma tordus,
cohomologie des faisceaux,
théorie des représentations,
[MATH]Mathematics [math]
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TCHOUDJEM, Alexis. Représentations d'algèbres de Lie dans des groupes de cohomologie à support. HAL, Tome 2002 (2002) no. 0, . http://gdmltest.u-ga.fr/item/tel-00002269/