On s'intéresse aux invariants pour l'action naturelle du groupe SL_2
sur l'algèbre B des coordonnées homogènes de la Grassmannienne des
pinceaux de formes quintiques binaires. La variété quotient
Proj(B^SL_2) est un candidat naturel pour la variété de modules des
quintiques gauches rationnelles.
Un procédé connu établit une correspondance birationnelle et
équivariante entre la Grassmannienne des pinceaux de formes binaires
de degré d et l'espace projectif des formes binaires de degré 2d-2.
Lorsque le degré d est 5, cela suggère de comparer l'algèbre B^SL_2 et
l'algèbre des invariants d'une forme octique binaire. Cette algèbre a
été décrite en détail par T. Shioda en 1967.
Nous établissons pour B^SL_2 un résultat analogue à celui de T.
Shioda : l'algèbre B^SL_2 est le quotient de l'algèbre de polynômes à
neuf indéterminées R=C[x_1,x_2,x_3,x'_3,x_4,x_5,x'_5,x_6,x_7] (les
indices donnent les degrés des indéterminées) par l'idéal des
4-Pfaffiens d'une matrice alternée 5x5 ; on identifie (numériquement)
la résolution libre minimale du R-module B^SL_2 ; enfin, on obtient
une famille génératrice minimale de l'algèbre B^SL_2.
Pour y parvenir on commence par étendre la formule de T. Springer
(donnant la série de Poincaré de l'algèbre des invariants d'une forme
binaire) à l'algèbre des coordonnées homogènes d'une Grassmannienne.
Le point clé suivant consiste en l'identification d'un système de
paramètres homogènes. C'est possible grâce à une caractérisation, au
moyen du morphisme Wronskien, de la stabilité sur la Grassmannienne.
Il faut ensuite étudier les covariants d'ordre 4 et degré 2, ce qui
donne lieu à quelques énoncés de nature géométrique.
Ces techniques permettent également de décrire les algèbres
d'invariants des pinceaux de cubiques et quartiques. Par ailleurs
l'étude du Wronskien conduit à de nouvelles formules de pléthysme.