Multiple stable integrals : properties of laws ; local invariance principle for stationary random variables

Breton, Jean-Christophe

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Résumé

Nous étudions dans la première partie les lois de certaines intégrales stochastiques. Après le cas introductif des intégrales de Poisson dont nous étudions l'absolue continuité, on construit les intégrales stables multiples pour les fonctions dans un espace de type Orlicz. Pour cela, nous passons par une généralisation de la représentation de LePage. Cette représentation est bien adaptée pour utiliser ensuite la méthode de stratification et étudier la loi de ces intégrales. Nous trouvons en particulier une condition garantissant l'absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue des lois jointes d'intégrales stables multiples. Nous prouvons également à partir de cette représentation la continuité pour la norme de la variation totale des lois de ces intégrales par rapport aux fonctions intégrées. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la convergence forte des lois des fonctionnelles stochastiques. Nous considérons tout d'abord une suite de variables aléatoires $(\xi_n)_n$ {\it i.i.d.} et on lui associe des processus de sommes partielles normalisées. On s'intéresse alors à la convergence en variation des lois des fonctionnelles de ces processus vers celles des fonctionnelles respectives du processus de Wiener. Ce type de convergence renforce celles du théorème central limite fonctionnel et permet d'obtenir un principe local d'invariance. Nous prouvons une telle convergence pour une large classe de fonctionnelles sous des hypothèses sensiblement affaiblies sur la loi commune des $\xi_n$ par rapport aux résultats précédents. Nous donnons des exemples concrets de fonctionnelles pour lesquelles ces convergences tiennent. Nous montrons pour terminer un résultat du même type en partant de certaines suites de variables aléatoires fortement mélangeantes. On obtient notamment dans un cas particulier un résultat de convergence en variation des lois des sommes partielles normalisées de variables mélangeantes.

Détail

Publié le : 2001-12-20
Classification:  stochastic multiple integrals,  local invariance principle,  processus fortement mélangeant,  méthode de stratification,  principe local d'invariance,  variation totale,  Absolue continuité,  intégrales stochastiques multiples,  lois stables,  représentation de LePage,  variation totale.,  [MATH]Mathematics [math]