Etude de Certaines Equations aux Dérivées Partielles

Droniou, Jérôme

HAL, tel-00001180 / Harvested from HAL

Résumé

La première partie de ce travail concerne les équations elliptiques non coercitives. Nous prouvons, tout d'abord dans un cadre linéaire, l'existence et l'unicité d'une solution faible dans l'espace d'énergie habituel $H^1(\Omega)$ pour une classe d'équations de convection-diffusion pour lesquelles le terme de convection provoque la perte de coercitivité. Nous prouvons des résultats de régularité höldérienne sur les solutions de ces équations qui permettent ensuite de résoudre ces mêmes équations avec un second membre mesure. Nous étendons aussi les résultats d'existence et d'unicité d'une solution dans des cas variationnels non-linéaires non-coercitifs et nous étudions, pour une équation elliptique linéaire non-coercitive, la convergence d'un schéma volumes finis. La deuxième partie concerne l'unicité des solutions à des problèmes elliptiques non-linéaires avec seconds membres mesure. La troisième partie aborde la question de la condition d'hyperbolicité des systèmes du premier ordre à coefficients constants. Nous prouvons une CNS pour qu'un tel système ait une solution pour toute condition initiale de type Riemann (condition initiale naturelle dans l'étude des discrétisations numériques de ces systèmes). A l'aide d'un système particulier, nous étudions ensuite la différence entre notre CNS et les diverses conditions d'hyperbolicité de la littérature, puis nous prouvons que la solution d'un système hyperbolique n'est pas toujours stable par rapport au flux. La quatrième partie rassemble quelques autres travaux. Le premier concerne la densité dans $W^{1,p}(\Omega)$ des fonctions régulières satisfaisant une condition de Neumann. Le second est l'étude d'une discrétisation EF mixtes---VF pour un écoulement diphasique à travers un milieu poreux. Le troisième et dernier est l'étude des mesures sur $]0,T[\times \Omega$ ne chargeant pas le boréliens de capacité parabolique nulle et l'application de cette étude à la résolution d'une équation parabolique non-linéaire avec second membre mesure.

Détail

Publié le : 2001-06-18
Classification:  solutions renormalisées,  schéma éléments finis mixtes,  équations elliptiques non coercitives,  termes de convection,  solutions par dualité,  régularité höldérienne,  données mesures,  unicité,  stabilité,  volumes finis,  hyperbolicité,  condition initiale de type Riemann,  densité dans les espaces de Sobolev,  capacité parabolique et mesures,  solutions renormalisées.,  [MATH]Mathematics [math]