Le théorème
d'uniformisation de Poincaré-Koebe permet d'affirmer que toute
surface de Riemann compacte de genre $g>1$ est un quotient du
demi-plan de Poincaré par un groupe Fuchsien.
D'un autre coté, une surface de Riemann est aussi une courbe algébrique
complexe. En genres 2 et 3, ces courbes peuvent toujours être
réalisées comme des courbes planes, i.e l'ensemble des zeros
d'une équation polynomiale homogène à coefficients complexes
$P(x,y,z)=0$.
Dans cette thèse, on s'intéresse au lien explicite entre ces deux
descriptions pour les surfaces de genres 2 et 3 ayant des
automorphismes non-triviaux.
En genre 2, on s'intéresse d'abords aux surfaces ayant une
involution non-triviale. On décrit la correspondance entre les
actions de deux groupes opérant l'un sur les structures
algébriques, l'autre sur les structures hyperboliques de ces
surfaces. La relation liant ces deux groupes permet d'interpréter
en terme de twists de Dehn et demi-twists les relations entre les
différents revêtements ramifiés au dessus de cinq points de
$\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, avec notamment une lecture sur les
équations de certains twists de Dehn. On fait une étude
similaire pour des surfaces ayant un automorphisme d'ordre 3. On
étudie ensuite des familles spéciales algébriques, définies par
moins de paramètres que l'espace ambiant (sans que cela
corresponde nécessairement à la présence d'automorphismes
supplémentaires). On s'intéresse enfin à des familles réelles.
On montre notamment que les différents groupes permettent
d'exprimer des relations algebrico-géométriques entre surfaces
ayant des types topologiques pour la partie réelle différents.
En genre 3, nous étudions les relations entre les équations des
quatre revêtements doubles de genre 3 d'une courbe de genre 1,
ramifiés au dessus de quatre points donnés et montrons comment on
peut aussi en décrire la structure hyperbolique dans le cas où
ils sont pavés par deux hexagones hyperboliques droits.