Dans cette thèse, nous étudions des théories homologiques et cohomologiques adaptées aux algèbres de Hopf.
Dans un premier temps, nous unifions diverses théories cohomologiques pour les algèbres de Hopf. Deux d'entre elles ont été introduites par M. Gerstenhaber et S.D. Schack; l'une est sans coefficients et elle est liée à la cohomologie qui permet d'étudier les déformations d'une algèbre de Hopf, l'autre est une théorie à coefficients (qui sont des bimodules de Hopf). La troisième est une généralisation de la cohomologie qui a été définie par C. Ospel, il s'agit aussi d'une théorie à coefficients. Pour unifier ces théories, nous les identifions au foncteur Ext sur une algèbre associative définie par C. Cibils et M. Rosso qui est une ``algèbre enveloppante'' associée à l'algèbre de Hopf. Nous établissons ensuite des formules explicites pour un cup-produit sur deux de ces cohomologies, et montrons que ce produit correspond au produit de Yoneda des extensions. Nous montrons aussi la Morita invariance de ces cohomologies.
La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une homologie cyclique pour les algèbres de Hopf. Il s'agit d'une version duale de la cohomologie qu'ont introduite A. Connes et H. Moscovici. Nous en étudions des propriétés, puis considérons le cas des algèbres de groupe. Nous interprétons certaines décompositions (de Burghelea et de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique classique d'une algèbre de groupe en termes d'homologie cyclique de Connes et Moscovici. Nous établissons ensuite une formule de décomposition (semblable à celle de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique d'une algèbre de Hopf cocommutative (qui généralise un résultat de Khalkhali et Rangipour).
Enfin, nous calculons quelques exemples d'homologies: l'homologie cyclique classique des algèbres de carquois tronquées, ainsi que l'homologie cyclique de Connes et Moscovici dans le cas particulier des algèbres de Taft. Nous calculons aussi l'homologie de Hochschild et l'homologie cyclique classique des algèbres d'Auslander des algèbres de Taft.