Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si les fonctions φ_n(x), (n=1,2,3,...) forment un système normé de fonctions orthogonales dans l'intervalle (a,b), c'est-à-dire si ∫_a^b [φ_n(x)]^2 dx =1, ∫_a^b φ_m(x)·φ_n(x)dx =0, n ≠ m, si, de plus, les constantes réelles a_n sont telles que ∑_{n=1}^{∞} a_n^2 (lg n)^2 converge, la série ∑_{n=1}^{∞} a_n·φ_n(x) converge presque partout dans l'intervalle (a,b). Théorème: Quelle que soit la fonction positive W(n) vérifiant la condition W(n) = o[(lg n)^2], il existe toujours un système normé de fonctions φ_n(x), n=1,2,3,..., orthogonales dans (0,1), et une suite de constantes réelles a_n telles que la série ∑_{n=1}^{∞} a_n·φ _n(x) diverge partout dans (0,1), quoique la série ∑_{n=1}^{∞} a_n^2 W(n) converge.
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author = {D. Menchoff},
title = {Sur les s\'eries de fonctions orthogonales},
journal = {Fundamenta Mathematicae},
volume = {4},
year = {1923},
pages = {82-105},
zbl = {49.0293.01},
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url = {http://dml.mathdoc.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv4i1p6bwm}
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Menchoff, D. Sur les séries de fonctions orthogonales. Fundamenta Mathematicae, Tome 4 (1923) pp. 82-105. http://gdmltest.u-ga.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv4i1p6bwm/