Dans l'étude de certaines questions relatives à la théorie des fonctions on est conduit parfois à envisager le problème suivant: Problème: Soient E_x un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Ox, E_y un ensemble de mesure nulle reparti sur l'axe Oy (axes rectangulaires). Menons par les points de E_x des parallèles à Oy et par les points de E_y des parallèles à Ox, et soit E l'ensemble de tous les points d'intersection de ces deux familles de droites. Désignons par E_{λ} la projection orthogonale de E sur une droite Oλ faisant avec Ox un angle quelconque ϑ. La mesure de E_{λ} est une fonction f(ϑ) de ϑ qui s'annule pour ϑ = 0 et ϑ = π/2. Quelle est cette fonction, admet-elle d'autres zéros? La solution est immédiate, lorsque l'un au moins des ensembles E_x, E_y est dénombrable. En effet, dans ce cas la mesure de E_{λ} est nulle quel que soit ϑ, donc f(ϑ) =0. Mais il n'en est plus de même si aucun des ensembles E_x, E_y n'est dénombrable. Le but de cette note est de donner la solution de ce problème dans le cas particulièrement simple, où chacun des ensembles E_x, E_y est un ensemble parfait de Cantor.
@article{bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv4i1p5bwm,
author = {D. Mirimanoff},
title = {Sur un probl\`eme de la th\'eorie de la mesure. I},
journal = {Fundamenta Mathematicae},
volume = {4},
year = {1923},
pages = {76-81},
zbl = {49.0146.01},
language = {fra},
url = {http://dml.mathdoc.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv4i1p5bwm}
}
Mirimanoff, D. Sur un problème de la théorie de la mesure. I. Fundamenta Mathematicae, Tome 4 (1923) pp. 76-81. http://gdmltest.u-ga.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv4i1p5bwm/