A Note on squares in arithmetic progressions, II

Bombieri, Enrico; Zannier, Umberto

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 13 (2002), p. 69-75 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

We show that the number of squares in an arithmetic progression of length $N$ is at most $c_{1} N^{3 / 5} {(\log N)}^{c_{2}}$ , for certain absolute positive constants $c_{1}$ , $c_{2}$ . This improves the previous result of Bombieri, Granville and Pintz [1], where one had the exponent $\frac{2}{3}$ in place of our $\frac{3}{5}$ . The proof uses the same ideas as in [1], but introduces a substantial simplification by working only with elliptic curves rather than curves of genus $5$ as in [1].

Si dimostra che il numero di quadrati in una progressione aritmetica di lunghezza $N$ non supera $c_{1} N^{3 / 5} {(\log N)}^{c_{2}}$ , per due costanti positive assolute $c_{1}$ , $c_{2}$ . Questo teorema migliora il precedente risultato di Bombieri, Granville e Pintz [1], dove si aveva l’esponente $\frac{2}{3}$ al posto del nuovo esponente $\frac{3}{5}$ . La dimostrazione si basa sulle idee introdotte in [1], con una importante semplificazione ottenuta lavorando con curve ellittiche invece che con curve di genere $5$ come in [1].

Publié le : 2002-06-01

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Bombieri, Enrico; Zannier, Umberto. A Note on squares in arithmetic progressions, II. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 13 (2002) pp. 69-75. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_2002_9_13_2_69_0/

Bibliographie

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