We show that the number of squares in an arithmetic progression of length is at most , for certain absolute positive constants , . This improves the previous result of Bombieri, Granville and Pintz [1], where one had the exponent in place of our . The proof uses the same ideas as in [1], but introduces a substantial simplification by working only with elliptic curves rather than curves of genus as in [1].
Si dimostra che il numero di quadrati in una progressione aritmetica di lunghezza non supera , per due costanti positive assolute , . Questo teorema migliora il precedente risultato di Bombieri, Granville e Pintz [1], dove si aveva l’esponente al posto del nuovo esponente . La dimostrazione si basa sulle idee introdotte in [1], con una importante semplificazione ottenuta lavorando con curve ellittiche invece che con curve di genere come in [1].
@article{RLIN_2002_9_13_2_69_0, author = {Enrico Bombieri and Umberto Zannier}, title = {A Note on squares in arithmetic progressions, II}, journal = {Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni}, volume = {13}, year = {2002}, pages = {69-75}, zbl = {1072.11010}, mrnumber = {1949479}, language = {en}, url = {http://dml.mathdoc.fr/item/RLIN_2002_9_13_2_69_0} }
Bombieri, Enrico; Zannier, Umberto. A Note on squares in arithmetic progressions, II. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 13 (2002) pp. 69-75. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_2002_9_13_2_69_0/
[1] Squares in arithmetic progressions. Duke Math. J., 66, 1992, 369-385. | MR 1167100 | Zbl 0771.11034
- - ,[2] The number of squares in arithmetic progressions. Stud. Sci. Math. Hungar., 9, 1974, 417. | MR 401698 | Zbl 0318.10029
,[3] On the difference of the Weil height and the Néron-Tate height. Math. Z., 147, 1976, 35-51. | MR 419455 | Zbl 0303.14003
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