A Note on squares in arithmetic progressions, II
Bombieri, Enrico ; Zannier, Umberto
Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 13 (2002), p. 69-75 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

We show that the number of squares in an arithmetic progression of length N is at most c1N3/5logNc2, for certain absolute positive constants c1, c2. This improves the previous result of Bombieri, Granville and Pintz [1], where one had the exponent 23 in place of our 35. The proof uses the same ideas as in [1], but introduces a substantial simplification by working only with elliptic curves rather than curves of genus 5 as in [1].

Si dimostra che il numero di quadrati in una progressione aritmetica di lunghezza N non supera c1N3/5logNc2, per due costanti positive assolute c1, c2. Questo teorema migliora il precedente risultato di Bombieri, Granville e Pintz [1], dove si aveva l’esponente 23 al posto del nuovo esponente 35. La dimostrazione si basa sulle idee introdotte in [1], con una importante semplificazione ottenuta lavorando con curve ellittiche invece che con curve di genere 5 come in [1].

Publié le : 2002-06-01
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Bombieri, Enrico; Zannier, Umberto. A Note on squares in arithmetic progressions, II. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 13 (2002) pp. 69-75. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_2002_9_13_2_69_0/

[1] Bombieri, E. - Granville, A. - Pintz, J., Squares in arithmetic progressions. Duke Math. J., 66, 1992, 369-385. | MR 1167100 | Zbl 0771.11034

[2] Szemerédi, E., The number of squares in arithmetic progressions. Stud. Sci. Math. Hungar., 9, 1974, 417. | MR 401698 | Zbl 0318.10029

[3] Zimmer, H.G., On the difference of the Weil height and the Néron-Tate height. Math. Z., 147, 1976, 35-51. | MR 419455 | Zbl 0303.14003