On the number of solutions of equation $ x^{{p}^{ k}} = 1 $ in a finite group

Berkovich, Yakov

On the number of solutions of equation

x^{p^{k}} = 1

in a finite group

Berkovich, Yakov

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 6 (1995), p. 5-12 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

Theorem A yields the condition under which the number of solutions of equation $x^{p^{k}} = 1$ in a finite $p$ -group is divisible by $p^{n + k}$ (here $n$ is a fixed positive integer). Theorem B which is due to Avinoam Mann generalizes the counting part of the Sylow Theorem. We show in Theorems C and D that congruences for the number of cyclic subgroups of order $p^{k}$ which are true for abelian groups hold for more general finite groups (for example for groups with abelian Sylow $p$ -subgroups).

Il Teorema A fornisce condizioni per cui il numero delle soluzioni dell'equazione $x^{p^{k}} = 1$ in un gruppo finito è divisibile per $p^{n + k}$ dove $n$ è un fissato intero positivo. Il Teorema B, che è dovuto a Avinoam Mann, è una generalizzazione del teorema di Sylow. Si prova nei teoremi C e D che le congruenze relative al numero dei sottogruppi ciclici di ordine $p^{k}$ note per i gruppi abeliani valgono in effetti per classi più ampie di gruppi finiti, ad esempio per gruppi a sottogruppi di Sylow abeliani.

Publié le : 1995-03-01

MR 1340276 | Zbl 0840.20017

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Berkovich, Yakov. On the number of solutions of equation \( x^{{p}^{ k}} = 1 \) in a finite group. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 6 (1995) pp. 5-12. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_1995_9_6_1_5_0/

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