Convex approximation of an inhomogeneous anisotropic functional

Bellettini, Giovanni; Paolini, Maurizio

Bellettini, Giovanni ; Paolini, Maurizio

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 5 (1994), p. 177-187 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

The numerical minimization of the functional $F (u) = \int_{Ω} ϕ (x, ν_{u}) |D u| + \int_{\partial Ω} μ u d H^{n - 1} - \int_{Ω} κ u d x$ , $u \in B V (Ω; \{- 1, 1\})$ is addressed. The function $ϕ$ is continuous, has linear growth, and is convex and positively homogeneous of degree one in the second variable. We prove that $F$ can be equivalently minimized on the convex set $B V (Ω; [- 1, 1])$ and then regularized with a sequence ${\{F_{ϵ} (u)\}}_{ϵ}$ , of stricdy convex functionals defined on $B V (Ω; [- 1, 1])$ . Then both $F$ and $F_{ϵ}$ , can be discretized by continuous linear finite elements. The convexity property of the functionals on $B V (Ω; [- 1, 1])$ is useful in the numerical minimization of $F$ . The $Γ — L_{1} (Ω)$ -convergence of the discrete functionals ${\{F_{h}\}}_{h}$ and ${\{F_{ϵ, h}\}}_{ϵ, h}$ to $F$ , as well as the compactness of any sequence of discrete absolute minimizers, are proven.

Si studia la minimizzazione numerica del funzionale $F (u) = \int_{Ω} ϕ (x, ν_{u}) |D u| + \int_{\partial Ω} μ u d H^{n - 1} - \int_{Ω} κ u d x$ . La funzione $ϕ$ è continua, ha crescita lineare ed è convessa e positivamente omogenea di grado uno nella seconda variabile. Si dimostra che $F$ può essere equivalentemente minimizzato sull'insieme convesso $B V (Ω; [- 1, 1])$ e successivamente regolarizzato con una successione ${\{F_{ϵ} (u)\}}_{ϵ}$ di funzionali strettamente convessi definiti su $B V (Ω; [- 1, 1])$ . $F$ e $F_{ϵ}$ sono poi discretizzati con elementi finiti lineari continui. La convessità dei funzionali su $B V (Ω; [- 1, 1])$ è utile nella minimizzazione numerica di $F$ . Si dimostra infine $Γ — L_{1} (Ω)$ -convergenza dei funzionali ${\{F_{h}\}}_{h}$ e ${\{F_{ϵ, h}\}}_{ϵ, h}$ a $F$ e la compattezza di successioni di punti di minimo discreti assoluti.

Publié le : 1994-06-01

MR 1292573 | Zbl 0809.65069

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Bellettini, Giovanni; Paolini, Maurizio. Convex approximation of an inhomogeneous anisotropic functional. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 5 (1994) pp. 177-187. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_1994_9_5_2_177_0/

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