Nonvariational basic parabolic systems of second order

Campanato, Sergio

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 2 (1991), p. 129-136 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

$Ω$ is a bounded open set of $R^{n}$ , of class $C^{2}$ and $T > 0$ . In the cylinder $Q = Ω \times (0, T)$ we consider non variational basic operator $a (H (u)) - \partial u / \partial t$ where $a (ξ)$ is a vector in $R^{N}$ , $N \geq 1$ , which is continuous in $ξ$ and satisfies the condition (A). It is shown that $\forall f \in L^{2} (Q)$ the Cauchy-Dirichlet problem $u \in W_{0}^{2, 1} (Q)$ , $a (H (u)) - \partial u / \partial t = f$ in $Q$ , has a unique solution. It is further shown that if $u \in W_{0}^{2, 1} (Q)$ is a solution of the basic system $a (H (u)) - \partial u / \partial t = 0$ in $Q$ , then $H (u)$ and $\partial u / \partial t$ belong to $H_{l o c}^{1} (Q)$ . From this the Hölder continuity in $Q$ of the vectors $u$ and $D u$ are deduced respectively when $n \leq 4$ and $n = 2$ .

$Ω$ è un aperto limitato di $R^{n}$ di classe $C^{2}$ e $T > 0$ . Nel cilindro $Q = Ω \times (0, T)$ si considera l'operatore non variazionale base $a (H (u)) - \partial u / \partial t$ dove $a (ξ)$ è un vettore di $R^{N}$ , $N \geq 1$ , continuo in $ξ$ il quale verifica la condizione (A). Si dimostra che $\forall f \in L^{2} (Q)$ il problema di Cauchy-Dirichlet $u \in W_{0}^{2, 1} (Q)$ , $a (H (u)) - \partial u / \partial t = f$ in $Q$ , ha una e una sola soluzione. Si dimostra inoltre che se $u \in W_{0}^{2, 1} (Q)$ è una soluzione del sistema base $a (H (u)) - \partial u / \partial t = 0$ in $Q$ , allora $H (u)$ e $\partial u / \partial t$ appartengono ad $H_{l o c}^{1} (Q)$ . Se ne deduce l'holderianità in $Q$ dei vettori $u$ e $D u$ rispettivamente quando $n \leq 4$ e $n = 2$ .

Publié le : 1991-06-01

MR 1120132 | Zbl 0749.35016

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Campanato, Sergio. Nonvariational basic parabolic systems of second order. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 2 (1991) pp. 129-136. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_1991_9_2_2_129_0/

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