Let G be a finite group of order ( and different primes) such that no different coniugacy classes of G have the same cardinality. Then G is the symmetric group on three letters.
@article{RLINA_1975_8_58_4_501_0, author = {Anna Luisa Gilotti}, title = {Sui gruppi finiti in cui classi distinte di elementi coniugati hanno diversa cardinalit\`a}, journal = {Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti}, volume = {59}, year = {1975}, pages = {501-507}, zbl = {0343.20010}, mrnumber = {0453859}, language = {it}, url = {http://dml.mathdoc.fr/item/RLINA_1975_8_58_4_501_0} }
Gilotti, Anna Luisa. Sui gruppi finiti in cui classi distinte di elementi coniugati hanno diversa cardinalità. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 59 (1975) pp. 501-507. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLINA_1975_8_58_4_501_0/
[1] | MR 231903 | Zbl 0185.05701
(1968) - Finite Groups. Harper and Row.[2] Groups with many conjugate elements, «Journal of Algebra», 26, 69-74- | MR 330287
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(1959) -