Let G be a finite group of order ( and different primes) such that no different coniugacy classes of G have the same cardinality. Then G is the symmetric group on three letters.
@article{RLINA_1975_8_58_4_501_0,
author = {Anna Luisa Gilotti},
title = {Sui gruppi finiti in cui classi distinte di elementi coniugati hanno diversa cardinalit\`a},
journal = {Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti},
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Gilotti, Anna Luisa. Sui gruppi finiti in cui classi distinte di elementi coniugati hanno diversa cardinalità. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 59 (1975) pp. 501-507. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLINA_1975_8_58_4_501_0/
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[4] (1959) - On finite groups containing an element of order four which commutes only with its powers, «Illinois Journal of Math.», 3, 255-271. | MR 104733 | Zbl 0085.01601