Analisi di Fourier e ricostruzione di segnali a partire da dati campionati
Picardello, Massimo A.
La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana, Tome 5 (2012), p. 399-444 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica
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Questo articolo si propone di spiegare le basi matematiche, legate all'analisi di Fourier, della ricostruzione dei segnali a partire da dati campionati a passo uniforme (ossia da una successione discreta dei loro valori numerici), ed analizzare le condizioni sotto cui è possibile pervenire ad una ricostruzione esatta ovunque, senza perdite (a parte naturalemnet gli arrotondamenti numerici). La risposta è nota da molti decenni (teorema di Shannon), ed anzi era nota ai matematici da molto prima: la ricostruzione esatta è possibile se il segnale ha trasformata di Fourier a supporto compatto ed il campionamento è sufficientemente fitto. La presentazione è indirizzata ad un pubblico non specialistico, ma non intende essere puramente divulgativa: viene accennata l'idea di quasi tutte le dimostrazioni,sebbene non i dettagli. La ricostruzione dei segnali continui a partire dai loro campionamenti discreti puoÁ essere ottenuta da una manipolazione intelligente dell'istogramma dei dati in base a techiche di analisi di Fourier: qui questa manipolazione è resa rigorosa grazie alla teoria delle distribuzioni, che viene brevemente accennata. Infine, si fa qualche cenno sui campionamenti a passo non uniforme.

We explain how to reconstruct exactly a continuous signal (apart from numerical round-offs) starting from a sequence of its values sampled on a grid ofuniform step. The mathematics of this reconstruction is based upon Fourier Analysis, and requires that the signal has bounded Fourier spectrum and the sampling step is sufficiently small: this fact has been widely known for a long time (the Shannon sampling theorem is dated 1948, but the mathematicians knew all this much before). Our account of these facts avoids all mathematical technicalities but gives most statements and ideas. The steps to process the discrete samples in order to reconstruct the continuous signals can be based upon a smart handling of the data histogram via Fourier techniques. This may seem just a practical, heuristic approach, but our presentation makes it rigorous, by clarifying the connection between the discrete and continuous sides through distribution theory (briefly outlined). Finally, we state some recent results about reconstruction from non-uniform sampling.

Publié le : 2012-12-01
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Picardello, Massimo A. Analisi di Fourier e ricostruzione di segnali a partire da dati campionati. La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana, Tome 5 (2012) pp. 399-444. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RIUMI_2012_1_5_3_399_0/

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