Le but de cet exposé n'est pas de donner une présentation exhaustive du traité de Grassmann, mais plutôt d'en donner certaines clefs de lecture. Le contenu mathématique à proprement parler n'est, au demeurant, qu'effleurer. Après une brève présentation de l'homme et du contexte mathématique de l'époque, nous nous intéressons à l'influence que Justus Grassmann, le père de Hermann a pu avoir sur l'œuvre mathématique de son fils. L'une des principales difficultés de l'Ausdehnungslehre reste sa dimension philosophique, nous l'abordons à travers une présentation de l'introduction et de l'influence de Friedrich Schleiermacher. Enfin, nous montrons comment les positions philosophiques de Grassmann opèrent sur le contenu mathématique, en analysant en détail les huit premiers paragraphes de son œuvre, qui non seulement fondent la théorie mais présentent l'équivalent des concepts modernes de base et de dimension.
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Dorier, Jean-Luc. Originalité et postérité : L'Ausdehnungslehre de Hermann Guenther Grassmann (1844). Philosophia Scientiae, Tome 4 (2000) pp. 3-45. http://gdmltest.u-ga.fr/item/PHSC_2000__4_1_3_0/
[1] 1806.- Essai sur une Manière de Représenter les Quantités Imaginaires dans les Constructions Géométriques, Annales de Mathématiques 5, 33-147 ; reprint ed. J. Hoüel, Paris : Gauthier-Villars, 1874 ; Paris : Blanchard 1971. | MR 280321
[2] 1833.- Sopra alcune Applicazioni di un Nuovo Metodo di Geometria Analitica, Il Poligrafo Giornale di Scienze, Lettre ed Arti. Verona 13, 53-61.
[3] 1935.- Saggio di Applicazioni di un Nuovo Metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle Equipollenze), Annali delle Scienze del Regno Lombaro-Veneto. Padova 5, 244-259.
[4] 1947.- Éléments de Mathématiques -livre II- Chap.3- Algèbre Multilinéaire, Paris :Hermann.
[5] 1933.- Sur la Représentation Géométrique des Nombres Imaginaires175-200 & 220-232. | JFM 59.0007.01
[6] 1805.- Mémoire sur les Quantités Imaginaires, Transactions of the Royal Society of London 96, 23-88.
[7] et 1909.- Omografie Vettoriali con Applicazioni alle Derivate rispetto ad un Punto e alla Fisica Matematica, Turin : G. B. Pretrini di Giovani Gallazio.
[8] 1908.- Nombres Complexes (version augmentée de l'article allemand de E. Study, 1898), Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, Paris : Gauthier-Villars, 1904-1914, Article I-5, 1(1) : 329-468 ; ou Œuvres Complètes (6 vols., Paris : Gauthier-Villars, 1953), 1(2) : 107-247.
[9] 1922.- Leçons sur les Invariants Intégraux, Paris : Hermann. | JFM 48.0538.02 | MR 355764
[10] 1853.- Sur les Clefs Algébriques, Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 36, 70-75, 129-136 et 161-169.
[11] 1992.- La Capture de l'Extension comme Dialectique Géométrique : Dimension et Puissance selon L'Ausdehnungslehre de Grassmann (1844), in Boi et al. (eds.) 1830-1930 : A Century of Geometry - Epistemology, History and Mathematics, Lecture notes in Physics vol. 402, Berlin/New-York/Paris : Springer, pp. 222-244.
[12] 1967.- A History of Vector Analysis - The Evolution of the Idea of a Vectorial System, Notre-Dame : University Press. | MR 229496 | Zbl 0165.00303
[13] 1637.- Le Discours de la Méthode pour bien Conduire sa Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences, Leyden : Jan Maire ; réédition, La Géométrie, ed. M. Leclerc et J-C. Juhel, Nantes : edition de L'AREFPPI, 1984.
[14] 1863.- Vorlesungen über Zahlentheorie, Braunschweig : Vieweg, réédité avec des suppléments de Richard Dedekind en 1871 (ed.1), 1879 (ed.2), 1893 (ed.4) ; rééd. ed.4., New-York : Chelsea Publishing Company, 1968.
[15] 1995.- A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory, Historia Mathematica 22(3), 227-261. | MR 1347828 | Zbl 0834.01006
[16] 1996.- Basis and Dimension : from Grassmann to van der Waerden, in Schubring (ed.) (1996) : Hermann Günther Grassmann (1809-1877) : Visionnary Mathematician, Scientist and Neohumanist Scholar, Boston Studies in the Philosophy of Science, Dordrecht : Kluwer Academic Publishers. | MR 1420649 | Zbl 0907.01008
[17] 1997a.- (ed.), L'enseignement de l'algèbre linéaire en question, Grenoble : La Pensée Sauvage Éditeur.
[18] 1997b.- L'Ausdenhungslehre de Grassmann : Une étape clef dans la théorisation du linéaire, in Flament (éd.) Le nombre une hydre à n visages - entre nombres complexes et vecteurs, Paris : Éditions de la Maison des Sciences de l'Homme, pp. 163-191.
[19] 1643.- Ad Locos Planos et Solidos Isagoge, Toulouse ; rééd., in Varia Opera Mathematica, 3 vols., ed. P. Tannery et C. Henri, Paris : Gauthier-Villars, 1891-1912, 85-96.
[20] 1979.- Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, American Monthly 86, 809-817. | MR 551500 | Zbl 0428.01008
[21] 1982.- Hermann Grassmann and the Prehistory of Universal Algebra, American Monthly 89, 161-166. | MR 645789 | Zbl 0493.01013
[22] 1992.- La “lineale Ausdehnungslehre” (1844) de Hermann Günther Grassmann, in Boi et al. (eds) 1830-1930 : A Century of Geometry - Epistemology, History and Mathematics, Lecture notes in Physics vol. 402, Berlin/New-York /Paris : Springer, pp. 205-221. | MR 1197121
[23] 1994.- Hermann Günther Grassmann, La Science de la Grandeur Extensive, La lineale Ausdehnungslehre, Paris : Blanchard. | MR 1314424
[24] 1831.- Theoria Residuorum Biquadraticorum - Commentatio Secunda, papier lu à Göttingen le 23 avril 1831, imprimé pour la première fois in Werke, 12 vols., Leipzig : Teubner, 1863-1933, 2 :69-178. | MR 468709
[25] 1844.- Die lineale Ausdehnungslehre1894-1911, 1 :1-139.
[26] 1846.- Grundzüge zu einer rein geometrischen Theorie der Kurven mit Anwendung einer rein geometrischen Analyse, Journal für die reine und angewandte Mathematik 31, 11-132, reed. Grassmann 1894/1911, 2(1) :49-72. | Zbl 031.0880cj
[27] 1847.- Geometrische Analyse, geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik - mit einer erläuternden Abhandlung von A. F. Möbius1894-1911, 1 :320-399.
[28] 1862.- Die Ausdehnungslehre, vollständig und in strenger Form1894-1911, 2 :1-383.
[29] 1894-1911.- Gesammelte Mathematische und Physikalische Werke, 3 vols., ed. F. Engel, Leipzig : Teubner ; rééd., New-York/London : Johnson Reprint Corporation, 1972.
[30] 1844.- On Quaternions or a New System of Imagineries in Algebra, Philosophical Magazine 25, 489-495.
[31] 1866.- Elements of Quaternions, 2 vols., Dublin ; rééd., New-York : Chelsea Publishing Company, 1969. | MR 237284
[32] 1867a.- Theorie der Complexen Zahlensysteme, Leipzig.
[33] 1867b.- Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen, Leipzig.
[34] 1872.- Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Programm zum Eintritt in die philosophische Facultät und den Senat der k. Friedrich-Alexanders-Universität zu Erlangen, Erlangen : Deichert ; reed. Le Programme d'Erlangen, trans. M. H. Padé, ed. J. Dieudonné, Paris : Gauthier-Villars, 1974. | JFM 04.0229.01
[35] 1679.- lettre à Christian Huyghens - Hanover ce 8 de Sept. 1679, Christi. Hugenii aliorumque seculi XVII. virorum celebrium exercitationes mathematicae et philosophicae, ed. Uylenbroek, Hagen : Hagae comitum, 1833, 2 :6-12.
[36] 1977.- H. Grassmann's 1844 Ausdehnungslehre and Schleiermacher's Dialektik, Annals of Sciences 34, 103-162. | MR 469636 | Zbl 0355.01011
[37] 1981.- Justus Grassmann's School Programs as Mathematical Antecedents of Hermann Grassmann's 1844 Ausdehnungslehre, in Jahnke et Otte (eds.) Epistemological and Social Problems of the Sciences in the Early Nineteenth Century, Dordrecht : D. Reidel Publishing Company, pp. 255-267.
[38] 1827.- Der Barycentrische Calcul1967, 1 :1-388.
[39] 1843.- Die Elemente der Mechanik des Himmels1967, 4 :1-318
[40] 1915.- Gesammelte Werke, 4 vols., ed. R. Baltzer, Leipzig : S. Hirtzel KG ; rééd., Wiesbaden : Dr. Martin Sändig oHG, 1967.
[41] 1828.- La Vraie Théorie des Quantités Négatives et Prétendues Imaginaires, Paris ; rééd., Paris : Mallet-Bachelier, 1861.
[42] 1989.- The Ideas of Hermann Grassmann in the Context of the Mathematical and Philosophical Tradition since Leibniz, Historia Mathematica 16, 1-35. | MR 988280 | Zbl 0674.01011
[43] 1888.- Calcolo Geometrico Secundo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann e Precedutto dalle Operazioni della Logica Deduttiva, Turin : Fratelli Bocca editori. | JFM 20.0689.04
[44] et al. 1985.- On the Exterior Calculus of Invariant Theory, Journal of Algebra 96(1), 120-160. | MR 808845 | Zbl 0585.15005
[45] 1845.- Mémoire sur les Sommes et les Différences Géométriques, et sur leur Usage pour Simplifier la Mécanique, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 21, 620-625.
[46] 1872-75.- System der Raumlehre. Nach den Prinzipien der Grassmann' schen Ausdehnungslehre, 2 vols, Leipzig : Teubner. | JFM 04.0231.02
[47] 1878.- Hermann Grassmann, sein Leben und seine Werke, Leipzig. | JFM 10.0020.05
[48] et 1931-35.- Einführung in die Analytische Geometrie und Algebra (en deux parties), Hamburger Mathematische Einzelschriften 10 (1931) and 19 (1935) ; reed. sous la forme d'un livre : Introduction to Modern Algebra and Matrix Theory, trad. Martin Davis and Melvin Hausner, New-York : Chelsea Publishing Company, 1951. | MR 41813
[49] (ed.) 1996.- Hermann Günther Grassmann (1809-1877) : Visionnary Mathematician, Scientist and Neohumanist Scholar -Papers from a Sesquicentinnial Conference, Boston Studies in the Philosophy of Science, Dordrecht : Kluwer Academic Publishers. | MR 1420634 | Zbl 0907.01021
[50] 1910.- Algebraische Theorie der Körper, Journal für die reine und angewandte Mathematik 137, 167-309 ; rééd., H. Hasse and R. Baer (eds.), Berlin/Leipzig : De Gruyter, 1930. | JFM 41.0445.03
[51] 1930-31.- Moderne Algebra, 2 vols., Berlin : Springer.
[52] 1693.- Opera Mathematica, 3 vols., Oxford : Oxianae.
[53] 1828.- A treatise on the Geometrical Representation of the Square Roots of Negatives Quantities, Cambridge ; rééd. Philosophical Transactions London 119 (1829), 241-254.
[54] 1798.- Om Directionens Analytiske Betegning, (lu à l'Académie Royal du Danemark en 1797), Copenhague, 1798 ; reed. Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter (2) 5 (1799), 496-518 ; Essai sur la Représentaion Analytique de la Direction, trad. H.G. Zeuthen, Copenhage/Paris : H. Valentiner et T. N. Thiele Editeurs, 1897. | JFM 28.0045.02
[55] 1918.- Raum-Zeit-Materie, Berlin : Springer ; Space-Time-Matter, trad. L. Brose, New-York : Dover, 1952. | MR 988402
[56] 1994.- Grassmanns Algebra in der Geometrie, Mannheim/ Leipzig/ Wien/ Zürich : B. I. Wissenschaftverlag. | MR 1309480