Local bifurcations and instabilities in models derived from optics and fluid mechanics

Godey, Cyril

HAL, NNT: 2017UBFCD008 / Harvested from HAL

Résumé

Cette thèse présente quelques contributions à l'étude qualitative de solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires dans des modèles issus de l'optique et de la mécanique des fluides. Nous nous intéressons plus précisément à l'existence de solutions et à leur stabilité temporelle. Le Chapitre 1 est consacré à l'équation de Lugiato-Lefever, qui est une variante de l'équation de Schrödinger non linéaire et qui a été dérivée dans plusieurs contextes en optique. En utilisant des outils de la théorie des bifurcations et des formes normales, nous procédons à une étude systématique des solutions stationnaires de cette équation, et prouvons l'existence de solutions périodiques et localisées. Dans le Chapitre 2, nous présentons un critère simple d'instabilité linéaire pour des ondes non linéaires. Nous appliquons ce résultat aux équations de Lugiato-Lefever, de Kadomtsev-Petviashvili-I et de Davey-Stewartson. Ces deux dernières équations sont des équations modèles dérivées en mécanique des fluides. Dans le Chapitre 3, nous montrons un critère d'instabilité linéaire pour des solutions périodiques de petite amplitude, par rapport à certaines perturbations quasipériodiques. Ce résultat est ensuite appliqué à l'équation de Lugiato-Lefever.

Détail

Publié le : 2017-07-06
Classification:  Linear instability,  Water waves,  Nonlinear partial differential equations,  Bifurcation theory,  Normal forms,  Lugiato-Lefever equation,  Équations aux dérivées partielles non linéaires,  Théorie des bifurcations,  Formes normales,  Équation de Lugiato-Lefever,  Instabilité linéaire,  Ondes hydrodynamiques de surface,  [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP]