One-dimensional symmetry for solutions of quasilinear equations in $\mathbb{R}^2$

Farina, Alberto

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 6-A (2003), p. 685-692 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

In this paper we consider two-dimensional quasilinear equations of the form $\text{div}(a(|\nabla u|) \nabla u)+ f(u)=0$ and study the properties of the solutions u with bounded and non-vanishing gradient. Under a weak assumption involving the growth of the argument of $\nabla u $(notice that $\text{arg}(\nabla u)$ is a well-defined real function since $|\nabla u|> 0$ on $\mathbb{R}^{2}$) we prove that $u$ is one-dimensional, i.e., $u= u(\nu \cdot x)$ for some unit vector $\nu$. As a consequence of our result we obtain that any solution $u$ having one positive derivative is one-dimensional. This result provides a proof of a conjecture of E. De Giorgi in dimension 2 in the more general context of the quasilinear equations. In particular we obtain a new and simple proof of the classical De Giorgi's conjecture.

Résumé

In questo lavoro si considerano le equazioni quasilineari della forma $\text{div}(a(|\nabla u|) \nabla u)+ f(u)=0$ in $\mathbb{R}^{2}$ e si studiano le proprietà delle soluzioni $u$ il cui gradiente è limitato e non si annulla mai. Sotto un'ipotesi naturale, riguardante la crescita della fase del gradiente di $u$ (si noti che la funzione $\text{arg}(\nabla u)$ è ben definita in quanto $|\nabla u|> 0$ in $\mathbb{R}^{2}$), si dimostra che $u$ è a simmetria unidimensionale, ovvero $u= u(\nu \cdot x)$, dove $\nu$ è un vettore unitario di $\mathbb{R}^{2}$. Come conseguenza di questo risultato si ottiene che ogni soluzione $u$ avente una derivata positiva è a simmetria unidimensionale. Questo risultato fornisce la dimostrazione di una congettura di $E$. De Giorgi nel più ampio contesto delle equazioni quasilineari. In particolare, nel caso delle equazioni semilineari, si ottiene una nuova e semplice dimostrazione della (classica) congettura di De Giorgi.

Détail

Publié le : 2003-10-01

MR 2014827 | Zbl 1115.35045

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