Stationary states for a two-dimensional singular Schrödinger equation

Caldiroli, Paolo; Musina, Roberta

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 4-A (2001), p. 609-633 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Résumé

In questo articolo studiamo problemi di Dirichlet singolari, lineari e semilineari, della forma ${|x|}^{2} Δ u = f (u)$ in $Ω$ , $u = 0$ su $\partial Ω$ , dove $Ω$ è un dominio in $R^{2}$ e $f (u) = λ u$ o $f (u) = λ u + {|u|}^{p - 2} u$ con $p > 2$ (o nonlinearità più generali). In tali problemi bidimensionali emergono alcune difficoltà a causa della non validità della disuguaglianza di Hardy in $R^{2}$ e a causa delle invarianze dell'equazione $- {|x|}^{2} Δ u = f (u)$ . Pertanto opportune condizioni su $λ$ e $Ω$ sono necessarie al fine di garantire l'esistenza di una soluzione positiva. Per esempio, se $Γ_{0}$ è una curva non costante passante per l'origine e $Γ_{\infty}$ è una curva non limitata, allora la disuguaglianza di Hardy vale su qualunque dominio $Ω$ contenuto in $R^{2} ∖ (Γ_{0} \cup Γ_{\infty})$ e si possono ottenere alcuni risultati di esistenza.

Publié le : 2001-10-01

MR 1859425 | Zbl 1182.35094

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Caldiroli, Paolo; Musina, Roberta. Stationary states for a two-dimensional singular Schrödinger equation. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 4-A (2001) pp. 609-633. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BUMI_2001_8_4B_3_609_0/

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