A note on Frobenius divided modules in mixed characteristics

[Une note sur les modules à descente infinie par Frobenius en caractéristique mixte]

Berthelot, Pierre

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012), p. 441-458 / Harvested from Numdam

Résumé

Si $X$ est un schéma lisse sur un corps parfait de caractéristique $p$, et si $\mathcal {D}_{X}^{(\infty )}$ est le faisceau des opérateurs différentiels sur $X$ [7], on sait que donner une action de $\mathcal {D}_{X}^{(\infty )}$ sur un ${\mathcal {O}}_X$-module ${\mathcal {E}}$ équivaut à donner une suite infinie de ${\mathcal {O}}_X$-modules descendant ${\mathcal {E}}$ par les itérés de l’endomorphisme de Frobenius de $X$ [5]. Nous montrons que ce résultat peut être généralisé au cas d’un morphism lisse $X \rightarrow S$ qui est une déformation infinitésimale d’un morphisme de caractéristique $p$, munie de relèvements des morphismes de Frobenius. Nous montrons aussi qu’il s’étend aux schémas formels adiques tels que $p$ appartienne à un idéal de définition. Ce résultat a été utilisé par dos Santos [12] pour relever les $\mathcal {D}_{X}^{(\infty )}$-modules de la caractéristique $p$ à la caractéristique $0$ en contrôlant le groupe de Galois différentiel du relèvement.

Abstract

If $X$ is a smooth scheme over a perfect field of characteristic $p$, and if $\mathcal {D}_{X}^{(\infty )}$ is the sheaf of differential operators on $X$ [7], it is well known that giving an action of $\mathcal {D}_{X}^{(\infty )}$ on an ${\mathcal {O}}_X$-module ${\mathcal {E}}$ is equivalent to giving an infinite sequence of ${\mathcal {O}}_X$-modules descending ${\mathcal {E}}$ via the iterates of the Frobenius endomorphism of $X$ [5]. We show that this result can be generalized to any infinitesimal deformation $f : X \rightarrow S$ of a smooth morphism in characteristic $p$, endowed with Frobenius liftings. We also show that it extends to adic formal schemes such that $p$ belongs to an ideal of definition. In [12], dos Santos used this result to lift $\mathcal {D}_{X}^{(\infty )}$-modules from characteristic $p$ to characteristic $0$ with control of the differential Galois group.

Détail

Publié le : 2012-01-01

Zbl 1277.14016 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2632
Classification:  12H05,  12H25,  13A35,  13N10,  14F30,  16S32
Mots clés: $D$-modules, morphismes de Frobenius, théorie de la descente, théorie des déformations

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