Coleff-Herrera currents, duality, and noetherian operators

[Courants de Coleff-Herrera, dualité et opérateurs noethériens]

Andersson, Mats

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011), p. 535-554 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit ${\mathcal {I}}$ un sous-faisceau cohérent d’un faisceau localement libre ${\mathcal {O}}(E_0)$ et supposons que ${\mathcal {F}}={\mathcal {O}}(E_0)/{\mathcal {I}}$ ait une codimension pure. En partant d’un courant résiduel $R$, obtenu à partir d’une résolution localement libre de ${\mathcal {F}}$, nous construisons un courant de Coleff-Herrera vectoriel $\mu $ à support sur la variété associée à ${\mathcal {F}}$, tel que $\phi $ soit dans ${\mathcal {I}}$ si et seulement si $\mu \phi =0$. Un tel courant $\mu $ peut également être dérivé algébriquement grâce à un théorème fondamental de Roos sur le foncteur bidualisant, et nous étudions le lien entre les deux approches. Par une construction due à Björk, on obtient des opérateurs noethériens pour ${\mathcal {I}}$ à partir du courant $\mu $. Le courant $R$ nous fournit également une réalisation explicite de la décomposition de Dickenstein-Sessa, ainsi que d’autres isomorphismes canoniques afférents.

Abstract

Let ${\mathcal {I}}$ be a coherent subsheaf of a locally free sheaf ${\mathcal {O}}(E_0)$ and suppose that ${\mathcal {F}}={\mathcal {O}}(E_0)/{\mathcal {I}}$ has pure codimension. Starting with a residue current $R$ obtained from a locally free resolution of ${\mathcal {F}}$ we construct a vector-valued Coleff-Herrera current $\mu $ with support on the variety associated to ${\mathcal {F}}$ such that $\phi $ is in ${\mathcal {I}}$ if and only if $\mu \phi =0$. Such a current $\mu $ can also be derived algebraically from a fundamental theorem of Roos about the bidualizing functor, and the relation between these two approaches is discussed. By a construction due to Björk one gets Noetherian operators for ${\mathcal {I}}$ from the current $\mu $. The current $R$ also provides an explicit realization of the Dickenstein-Sessa decomposition and other related canonical isomorphisms.

Détail

Publié le : 2011-01-01

MR 2869304 | Zbl 1241.32007

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2618
Classification:  32C30,  32A27
Mots clés: courant de Coleff-Herrera, dualité, opérateurs noethériens, courant résiduel

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