Why Jordan algebras are natural in statistics: quadratic regression implies Wishart distributions

[Pourquoi les algèbres de Jordan sont-elles naturelles en statistiques ? La régression quadratique implique la distribution de Wishart]

Letac, G. ; Wesołowski, J.

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011), p. 129-144 / Harvested from Numdam

Résumé

Si l’espace $\mathcal {Q}$ des formes quadratiques sur $\mathbb {R}^n$ est décomposé en une somme directe $\mathcal {Q}_1\oplus \ldots \oplus \mathcal {Q}_k$ et si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires indépendantes de $\mathbb {R}^n$, supposons qu’il existe un nombre réel $a$ tel que $E(X|X+Y)=a(X+Y)$ ainsi que des nombres réels distincts $b_1,...,b_k$ tels que $E(q(X)|X+Y)=b_iq(X+Y)$ pour tout $q$ de $\mathcal {Q}_i.$ Nous montrons que cela n’arrive que pour $k=2$, que lorsque $\mathbb {R}^n$ peut être structuré en algèbre de Jordan euclidienne et que lorsque $X$ et $Y$ suivent des lois de Wishart correspondant à cette structure.

Abstract

If the space $\mathcal {Q}$ of quadratic forms in $\mathbb {R}^n$ is splitted in a direct sum $\mathcal {Q}_1\oplus \ldots \oplus \mathcal {Q}_k$ and if $X$ and $Y$ are independent random variables of $\mathbb {R}^n$, assume that there exist a real number $a$ such that $E(X|X+Y)=a(X+Y)$ and real distinct numbers $b_1,...,b_k$ such that $E(q(X)|X+Y)=b_iq(X+Y)$ for any $q$ in $\mathcal {Q}_i.$ We prove that this happens only when $k=2$, when $\mathbb {R}^n$ can be structured in a Euclidean Jordan algebra and when $X$ and $Y$ have Wishart distributions corresponding to this structure.

Détail

Publié le : 2011-01-01

Zbl 1213.62089

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2603
Classification:  60H10,  62H05
Mots clés: cônes symétriques, matrices aléatoires, caractérisation des lois de Wishart

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