$\mathcal {D}$-modules arithmétiques associés aux isocristaux surconvergents. Cas lisse

Caro, Daniel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009), p. 453-543 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $\mathcal {V}$ un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques, ${\mathcal {P}}$ un $\mathcal {V}$-schéma formel séparé et lisse, $P$ sa fibre spéciale, $X$ un sous-schéma fermé de $P$, $T$ un diviseur de $P$ tel que $T _X = T \cap X$ soit un diviseur de $X$ et $\smash{\mathcal {D} }^\dag _{{\mathcal {P}}}( \phantom{}{^{\dag } } T) _{\mathbb {Q}}$ le complété faible du faisceau des opérateurs différentiels sur ${\mathcal {P}}$ à singularités surconvergentes le long de $T$ tensorisé par $\mathbb {Q}$. Nous construisons un foncteur pleinement fidèle, noté $ \mathrm {sp}_{X \hookrightarrow {\mathcal {P}},T,+}$, de la catégorie des isocristaux sur $X \setminus T _X$ surconvergents le long de $T _X$ dans celle des $\smash{\mathcal {D} }^\dag _{{\mathcal {P}}}( \phantom{}{^{\dag } } T) _{\mathbb {Q}}$-modules cohérents à support dans $X$. Puis, nous prouvons la commutation de $ \mathrm {sp}_{X \hookrightarrow {\mathcal {P}},T,+}$ aux images inverses (extraordinaires) et aux foncteurs duaux. Ces propriétés sont compatibles à Frobenius.

Abstract

Let $\mathcal {V}$ be a mixed characteristic complete discrete valuation ring, ${\mathcal {P}}$ a separated smooth formal scheme over $\mathcal {V}$, $P$ its special fiber, $X$ a smooth closed subscheme of $P$, $T$ a divisor in $P$ such that $T _X = T \cap X$ is a divisor in $X$ and $\smash{\mathcal {D} }^\dag _{{\mathcal {P}}}( \phantom{}{^{\dag } } T) _{\mathbb {Q}}$ the tensorized with $\mathbb {Q}$ weak completion of the sheaf of differential operators on ${\mathcal {P}}$ with overconvergent singularities along $T$. We construct a fully faithful functor denoted by $ \mathrm {sp}_{X \hookrightarrow {\mathcal {P}},T,+}$ from the category of isocrystal on $X \setminus T _X$ overconvergent along $T _X$ into the category of coherent $\smash{\mathcal {D} }^\dag _{{\mathcal {P}}}( \phantom{}{^{\dag } } T) _{\mathbb {Q}}$-modules with support in $X$. Next, we prove the commutation of $ \mathrm {sp}_{X \hookrightarrow {\mathcal {P}},T,+}$ with (extraordinary) inverse images and dual functors. These properties are compatible with Frobenius.

Détail

Publié le : 2009-01-01

MR 2572180 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2581
Classification:  14F10,  14F30
Mots clés: $\mathcal {D} $-modules arithmétiques, Frobenius, foncteur dual, image directe

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