Comparaison entre cohomologie cristalline et cohomologie étale $p$-adique sur certaines variétés de Shimura

Rozensztajn, Sandra

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009), p. 297-320 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $X$ un modèle entier en un premier $p$ d’une variété de Shimura de type PEL, ayant bonne réduction associée à un groupe réductif $G$. On peut associer aux $\mathbb {Z}_p$-représentations du groupe $G$ deux types de faisceaux : des cristaux sur la fibre spéciale de $X$, et des systèmes locaux pour la topologie étale sur la fibre générique. Nous établissons un théorème de comparaison entre la cohomologie de ces deux types de faisceaux.

Abstract

Let $X$ be an integral model at a prime $p$ of a Shimura variety of PEL type having good reduction, associated to a reductive group $G$. To $\mathbb {Z}_p$ representations of the group $G$ can be associated two kinds of sheaves: crystals on the special fiber of $X$, and locally constant étale sheaves on the generic fiber. We establish a comparison between the cohomology of these two kinds of sheaves.

Détail

Publié le : 2009-01-01

MR 2574087 | Zbl 1183.14036

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2577
Classification:  14G35,  14F30,  14F20
Mots clés: variétés de Shimura, théorie de Hodge $p$-adique

Bibliographie

[1] C. Breuil - « Topologie log-syntomique, cohomologie log-cristalline et cohomologie de Čech », Bull. Soc. Math. France 124 (1996), p. 587-647. | Numdam | MR 1432059 | Zbl 0865.19004

[2] -, « Cohomologie étale de $p$-torsion et cohomologie cristalline en réduction semi-stable », Duke Math. J. 95 (1998), p. 523-620. | MR 1658764 | Zbl 0961.14010

[3] P. Deligne - Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lecture Notes in Math., vol. 163, Springer, 1970. | MR 417174 | Zbl 0244.14004

[4] G. Faltings & C.-L. Chai - Degeneration of abelian varieties, Ergebnisse Math. Grenzg. (3), vol. 22, Springer, 1990. | MR 1083353 | Zbl 0744.14031

[5] J.-M. Fontaine & W. Messing - « $p$-adic periods and $p$-adic étale cohomology », in Current trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985), Contemp. Math., vol. 67, Amer. Math. Soc., 1987, p. 179-207. | MR 902593 | Zbl 0632.14016

[6] W. Fulton & J. Harris - Representation theory, Graduate Texts in Math., vol. 129, Springer, 1991. | MR 1153249 | Zbl 0744.22001

[7] O. Hyodo & K. Kato - « Semi-stable reduction and crystalline cohomology with logarithmic poles », Astérisque 223 (1994), p. 221-268. | MR 1293974 | Zbl 0852.14004

[8] L. Illusie - « Réduction semi-stable et décomposition de complexes de de Rham à coefficients », Duke Math. J. 60 (1990), p. 139-185. | MR 1047120 | Zbl 0708.14014

[9] J. C. Jantzen - Representations of algebraic groups, Pure and Applied Mathematics, vol. 131, Academic Press Inc., 1987. | MR 899071 | Zbl 0654.20039

[10] R. E. Kottwitz - « Points on some Shimura varieties over finite fields », J. Amer. Math. Soc. 5 (1992), p. 373-444. | MR 1124982 | Zbl 0796.14014

[11] K.-W. Lan - « Arithmetic compactifications of PEL-type shimura varieties », Thèse, Harvard University, 2008. | MR 2711676 | Zbl pre06151348

[12] A. Mokrane & J. Tilouine - « Cohomology of Siegel varieties with $p$-adic integral coefficients and applications », Astérisque 280 (2002), p. 1-95. | MR 1944174 | Zbl 1078.11037

[13] P. Polo & J. Tilouine - « Bernstein-Gelfand-Gelfand complexes and cohomology of nilpotent groups over $\mathbb {Z}_{(p)}$ for representations with $p$-small weights », Astérisque 280 (2002), p. 97-135. | MR 1944175 | Zbl 1035.17030

[14] S. Rozensztajn - « Compactification de schémas abéliens dégénérant au-dessus d'un diviseur régulier », Doc. Math. 11 (2006), p. 57-71. | MR 2226269 | Zbl 1116.14040

[15] T. Tsuji - « $p$-adic étale cohomology and crystalline cohomology in the semi-stable reduction case », Invent. Math. 137 (1999), p. 233-411. | MR 1705837 | Zbl 0945.14008

[16] -, « On $p$-adic nearby cycles of log smooth families », Bull. Soc. Math. France 128 (2000), p. 529-575. | Numdam | MR 1815397 | Zbl 0972.14012

[17] G. Yamashita - « $p$-adic étale cohomology and crystalline cohomology for open varieties », Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku 1324 (2003), p. 130-141. | MR 2000772