Batalin-Vilkovisky algebra structures on Hochschild cohomology

[Structures d'algèbres de Batalin-Vilkovisky sur la cohomologie de Hochschild]

Menichi, Luc

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009), p. 277-295 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $M$ une variété lisse orientée compact simplement connexe de dimension $d$. Soit $\mathbb {F}$ un corps commutatif quelconque. Nous montrons que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild des cochaînes singulières de $M$, $HH^*(S^*(M),S^*(M))$, s’étend en une algèbre de Batalin-Vilkovisky. L’existence d’une telle algèbre de Batalin-Vilkovisky était conjecturée. Il est prévu qu’une telle algèbre soit isomorphe à l’algèbre de Batalin-Vilkovisky sur l’homologie des lacets libres sur $M$, $H_{*+d}(LM)$, introduite par Chas and Sullivan. Nous montrons aussi que la cohomologie cyclique négative $HC^*_-(S^*(M))$ possède un crochet de Lie. Ce crochet de Lie devrait coincider avec le crochet des cordes de Chas et Sullivan sur l’homologie équivariante $H_*^{S^1}(LM)$.

Abstract

Let $M$ be any compact simply-connected oriented $d$-dimensional smooth manifold and let $\mathbb {F}$ be any field. We show that the Gerstenhaber algebra structure on the Hochschild cohomology on the singular cochains of $M$, $HH^*(S^*(M),S^*(M))$, extends to a Batalin-Vilkovisky algebra. Such Batalin-Vilkovisky algebra was conjectured to exist and is expected to be isomorphic to the Batalin-Vilkovisky algebra on the free loop space homology on $M$, $H_{*+d}(LM)$ introduced by Chas and Sullivan. We also show that the negative cyclic cohomology $HC^*_-(S^*(M))$ has a Lie bracket. Such Lie bracket is expected to coincide with the Chas-Sullivan string bracket on the equivariant homology $H_*^{S^1}(LM)$.

Détail

Publié le : 2009-01-01

MR 2543477 | Zbl 1180.16007 | 3 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2576
Classification:  16E40,  16E45,  55P35,  57P10
Mots clés: topologie des cordes, algèbre de Batalin-Vilkovisky, algèbre de Gerstenhaber, cohomologie de Hochschild, lacets libres

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