Séries hypergéométriques multiples et polyzêtas

Cresson, J.; Fischler, S.; Rivoal, T.

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008), p. 97-145 / Harvested from Numdam

Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

Résumé
Abstract

Nous décrivons un algorithme théorique et effectif permettant de démontrer que des séries et intégrales hypergéométriques multiples relativement générales se décomposent en combinaisons linéaires à coefficients rationnels de polyzêtas.

We describe a theoretical and effective algorithm which enables us to prove that rather general hypergeometric series and integrals can be decomposed as linear combinations of multiple zeta values, with rational coefficients.

Publié le : 2008-01-01

MR 2415337 | Zbl 1161.33003

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2550
Classification: 33C70, 11M41, 11M06, 11J72
Mots clés: polyzêta, série hypergéométrique multiple, algorithme

@article{BSMF_2008__136_1_97_0,
     author = {Cresson, J. and Fischler, S. and Rivoal, T.},
     title = {S\'eries hyperg\'eom\'etriques multiples et polyz\^etas},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     volume = {136},
     year = {2008},
     pages = {97-145},
     doi = {10.24033/bsmf.2550},
     mrnumber = {2415337},
     zbl = {1161.33003},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/BSMF_2008__136_1_97_0}
}

Cresson, J.; Fischler, S.; Rivoal, T. Séries hypergéométriques multiples et polyzêtas. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) pp. 97-145. doi : 10.24033/bsmf.2550. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2008__136_1_97_0/

Bibliographie

[1] S. Akiyama, S. Egami & Y. Tanigawa - « Analytic continuation of multiple zeta-functions and their values at non-positive integers », Acta Arith. 98 (2001), p. 107-116. | MR 1831604 | Zbl 0972.11085

[2] S. Akiyama & Y. Tanigawa - « Multiple zeta values at non-positive integers », Ramanujan J. 5 (2001), p. 327-351 (2002). | MR 1891413 | Zbl 1002.11069

[3] R. Apéry - « Irrationalité de $ζ (2)$ et $ζ (3)$ », Astérisque 61 (1979), p. 11-13. | Zbl 0401.10049

[4] W. N. Bailey - Generalized hypergeometric series, Cambridge University Press, Cambridge, 1935. | JFM 61.0406.01 | Zbl 0011.02303

[5] K. Ball & T. Rivoal - « Irrationalité d'une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs », Invent. Math. 146 (2001), p. 193-207. | MR 1859021 | Zbl 1058.11051

[6] F. Beukers - « A note on the irrationality of $ζ (2)$ and $ζ (3)$ », Bull. London Math. Soc. 11 (1979), p. 268-272. | MR 554391 | Zbl 0421.10023

[7] F. C. S. Brown - « Périodes des espaces des modules ${\bar{M}}_{0, n}$ et multizêtas », C. R. Acad. Sci. Paris, Sér.I 336 (2006). | Zbl 1105.11019

[8] P. Cartier - « Fonctions polylogarithmes, nombres polyzêtas et groupes pro-unipotents », Astérisque 282 (2002), p. 137-173, Séminaire Bourbaki, Vol. 2000/2001. | Numdam | MR 1975178 | Zbl 1085.11042

[9] P. Colmez - Arithmétique de la fonction zêta, Ed. Éc. Polytech., Palaiseau, 2003. | MR 1989223

[10] J. Cresson - « Calcul Moulien », Prépublication IHÉS 06/22 (2006), 93p. | Numdam | Zbl pre05615017

[11] J. Cresson, S. Fischler & T. Rivoal - « Code en GP-Pari de l'implémentation de l'algorithme décrit dans Séries hypergéométriques multiples et polyzêtas », preprint http://www.math.u-psud.fr/~fischler/algo.html.

[12] -, « Phénomènes de symétrie dans des formes linéaires en polyzêtas », J. reine angew. Math. 617 (2008), preprint arXiv :math.NT/0609744. | Zbl 1227.11097

[13] J. Ecalle - « ARI/GARI, la dimorphie et l'arithmétique des multizêtas : un premier bilan », J. Théor. Nombres Bordeaux 15 (2003), p. 411-478. | Numdam | MR 2140864 | Zbl 1094.11032

[14] O. Espinosa & V. H. Moll - « The evaluation of Tornheim double sums. I », J. Number Theory 116 (2006), p. 200-229. | MR 2197867 | Zbl 1168.11033

[15] S. Fischler - « Multiple series connected to Hoffman's conjecture on multiple zeta values », J. of Algebra, à paraître. | MR 2432000 | Zbl 1186.11051

[16] S. Fischler - « Groupes de Rhin-Viola et intégrales multiples », J. Théor. Nombres Bordeaux 15 (2003), p. 479-534. | Numdam | MR 2140865 | Zbl 1074.11040

[17] -, « Irrationalité de valeurs de zêta (d’après Apéry, Rivoal, $\dots$ ) », Astérisque 294 (2004), p. 27-62. | Numdam | Zbl 1101.11024

[18] S. Fischler & T. Rivoal - « Approximants de Padé et séries hypergéométriques équilibrées », J. Math. Pures Appl. (9) 82 (2003), p. 1369-1394. | MR 2020926 | Zbl 1064.11053

[19] A. B. Goncharov - « Multiple polylogarithms and mixed Tate motives », 2001.

[20] A. B. Goncharov & Y. I. Manin - « Multiple $ζ$ -motives and moduli spaces ${\bar{ℳ}}_{0, n}$ », Compos. Math. 140 (2004), p. 1-14. | MR 2004120 | Zbl 1047.11063

[21] M. Hata - « A note on Beukers' integral », J. Austral. Math. Soc. Ser.A 58 (1995), p. 143-153. | MR 1323987 | Zbl 0830.11026

[22] M. Hata - « A new irrationality measure for $ζ (3)$ », Acta Arith. 92 (2000), p. 47-57. | MR 1739738 | Zbl 0955.11023

[23] C. Krattenthaler & T. Rivoal - « Hypergéométrie et fonction zêta de Riemann », in Mem. Amer. Math. Soc., vol. 186, 2007. | MR 2295224 | Zbl 1113.11039

[24] -, « An identity of Andrews, multiple integrals, and very-well-poised hypergeometric series », Ramanujan J. 13 (2007), p. 203-219. | MR 2281161 | Zbl 1114.33007

[25] L. Lewin - Polylogarithms and associated functions, North-Holland Publishing Co., 1981, With a foreword by A. J. Van der Poorten. | MR 618278 | Zbl 0465.33001

[26] H. N. Minh, M. Petitot & J. Van Der Hoeven - « Shuffle algebra and polylogarithms », Discrete Math. 225 (2000), p. 217-230, Formal power series and algebraic combinatorics (Toronto, ON, 1998). | MR 1798332 | Zbl 0965.68129

[27] Y. V. Nesterenko - « A few remarks on $ζ (3)$ (en russe) », Mat. Zametki 59 (1996), p. 865-880, trad. anglaise Math. Notes 59 (1996), p.625-636. | MR 1445472 | Zbl 0888.11028

[28] G. Racinet - « Séries génératrices non-commutatives de polyzêtas et associateurs de Drinfeld », Thèse, Université d'Amiens, 2000.

[29] G. Racinet - « Doubles mélanges des polylogarithmes multiples aux racines de l'unité », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 95 (2002), p. 185-231. | Numdam | MR 1953193 | Zbl 1050.11066

[30] C. Reutenauer - « Free Lie Algebras », in London Math. Soc. Monographs, new series, vol. 7, 1993. | MR 1231799 | Zbl 0798.17001

[31] G. Rhin & C. Viola - « On a permutation group related to $ζ (2)$ », Acta Arith. 77 (1996), p. 23-56. | MR 1404975 | Zbl 0864.11037

[32] -, « The group structure for $ζ (3)$ », Acta Arith. 97 (2001), p. 269-293. | MR 1826005 | Zbl 1004.11042

[33] T. Rivoal - « La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 331 (2000), p. 267-270. | MR 1787183 | Zbl 0973.11072

[34] L. J. Slater - Generalized hypergeometric functions, Cambridge University Press, 1966. | MR 201688 | Zbl 0135.28101

[35] V. N. Sorokin - « On the measure of transcendency of the number $π^{2}$ », Mat. Sb. 187 (1996), p. 87-120, trad. anglaise Sb. Math., 187 (1996), p.1819-1852. | MR 1442212 | Zbl 0876.11035

[36] -, « Apéry's theorem », Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh. 3 (1998), p. 48-52, trad. anglaise Moscow Univ. Math. Bull. 3 (1998), p.48-52.

[37] -, « On the linear independence of values of generalized polylogarithms », Mat. Sb. 192 (2001), p. 139-154, trad. anglaise Sb. Math. 192 (2001), p.1225-1239. | MR 1862248 | Zbl 1023.11035

[38] H. M. Srivastava & P. W. Karlsson - Multiple Gaussian hypergeometric series, Ellis Horwood Series : Mathematics and its Applications, Ellis Horwood Ltd., 1985. | MR 834385 | Zbl 0552.33001

[39] T. Terasoma - « Mixed Tate motives and multiple zeta values », Invent. Math. 149 (2002), p. 339-369. | MR 1918675 | Zbl 1042.11043

[40] E. A. Ulanskiĭ - « Identities for generalized polylogarithms », Mat. Zametki 73 (2003), p. 613-624, trad. anglaise Math. Notes 73 (2003), p.571-581. | MR 1991907 | Zbl 1093.11049

[41] D. V. Vasilyev - « Approximations of zero by linear forms in values of the Riemann zeta-function (en russe) », Doklady Nat. Acad. Sci Belarus 45 (2001), p. 36-40, trad. anglaise « On small linear forms for the values of the Riemann zeta-function at odd points », prépublication no.1 (558), Nat. Acad. Sci. Belarus, Institute Math., Minsk (2001), 14p. | MR 1983707 | Zbl 1178.11059

[42] M. Waldschmidt - « Valeurs zêta multiples. Une introduction », J. Théor. Nombres Bordeaux 12 (2000), p. 581-595, Colloque International de Théorie des Nombres (Talence, 1999). | Numdam | MR 1823204 | Zbl 0976.11037

[43] M. Waldschmidt - « Twisted Hoffman algebras, Report 12/2003, Colloque Elementare und analytische Zahlentheorie, Oberwolfach », 2003.

[44] D. Zagier - « Values of zeta functions and their applications », in First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), Progr. Math., vol. 120, Birkhäuser, 1994, p. 497-512. | MR 1341859 | Zbl 0822.11001

[45] S. A. Zlobin - « Integrals that can be represented as linear forms of generalized polylogarithms », Mat. Zametki 71 (2002), p. 782-787, trad. anglaise Math. Notes 71 (2002), p.711-716. | MR 1936201 | Zbl 1049.11077

[46] -, « Expansion of multiple integrals in linear forms », Mat. Zametki 77 (2005), p. 683-706, trad. anglaise Math. Notes 77 (2005), p.630-652. | MR 2178839 | Zbl 1120.11030

[47] S. A. Zlobin - « Properties of coefficients of certain linear forms in generalized polylogarithms (en russe) », Fundamentalnaya i Prikladnaya Matematika 11 (2005), p. 41-58, arXiv :math.NT/0511245. | MR 2204422 | Zbl 1204.11111

[48] W. Zudilin - « Well-poised hypergeometric service for Diophantine problems of zeta values », J. Théor. Nombres Bordeaux 15 (2003), p. 593-626. | Numdam | MR 2140869 | Zbl 1156.11326

[49] -, « Arithmetic of linear forms involving odd zeta values », J. Théor. Nombres Bordeaux 16 (2004), p. 251-291. | Numdam | MR 2145585 | Zbl 1156.11327

[50] -, « Well-poised hypergeometric transformations of Euler-type multiple integrals », J. London Math. Soc. (2) 70 (2004), p. 215-230. | MR 2064759 | Zbl 1065.11054