Discrétisation de zeta-déterminants d'opérateurs de Schrödinger sur le tore

Chaumard, Laurent

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006), p. 327-355 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Nous donnons ici deux résultats sur le déterminant $ζ$ -régularisé ${det}_{ζ} A$ d’un opérateur de Schrödinger $A = Δ_{g} + V$ sur une variété compacte $ℳ$ . Nous construisons, pour $ℳ = S^{1} \times S^{1}$ , une suite $(G_{n}, ρ_{n}, Δ_{n})$ où $G_{n}$ est un graphe fini qui se plonge dans $ℳ$ via $ρ_{n}$ de telle manière que $ρ_{n} (G_{n})$ soit une triangulation de $ℳ$ et où $Δ_{n}$ est un laplacien discret sur $G_{n}$ tel que pour tout potentiel $V$ sur $ℳ$ , la suite de réels $det (Δ_{n} + V)$ converge après renormalisation vers ${det}_{ζ} (Δ_{g} + V)$ . Enfin, nous donnons sur toute variété riemannienne compacte $(ℳ, g)$ de dimension inférieure ou égale à $3$ et de groupe d’isométries transitif, un majorant du déterminant ${det}_{ζ} (Δ_{g} + V)$ , lorsque le potentiel $V$ est positif.

We propose two results concerning the $ζ$ -regularised determinant ${det}_{ζ} A$ of a Schrödinger operator $A = Δ_{g} + V$ on a compact riemannian manifold $(ℳ, g)$ . For $ℳ = S^{1} \times S^{1}$ , we construct a sequence $(G_{n}, ρ_{n}, Δ_{n})$ where $G_{n}$ is a finite graph injected in $ℳ$ via $ρ_{n}$ , in such a way that $ρ_{n} (G_{n})$ triangulates $ℳ$ . $Δ_{n}$ is a discrete laplacian on $G_{n}$ so that for every potential $V$ on $ℳ$ , the sequence $det (Δ_{n} + V)$ converges, after normalisation, to ${det}_{ζ} (Δ_{g} + V)$ . Last, we give on every riemannian compact manifold $(ℳ, g)$ whose dimension is less than or equal to $3$ and with a transitiv isometry group, the maximum of the determinant ${det}_{ζ} (Δ_{g} + V)$ .

Publié le : 2006-01-01

MR 2245996 | Zbl 1112.58035

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2512
Classification: 53B21, 53C24, 94C15, 53A35, 58J40, 58J50
Mots clés: déterminant zeta-régularisé, théorie spectrale des graphes et des surfaces, discrétisation, fonction zeta, opérateur de schrödinger, opérateurs pseudo-différentiels, géométrie riemannienne

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Chaumard, Laurent. Discrétisation de zeta-déterminants d'opérateurs de Schrödinger sur le tore. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) pp. 327-355. doi : 10.24033/bsmf.2512. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2006__134_3_327_0/

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