Perte de régularité pour les équations d'ondes sur-critiques

Lebeau, Gilles

Lebeau, Gilles

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005), p. 145-157 / Harvested from Numdam

Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

Résumé
Abstract

On prouve que le problème de Cauchy local pour l’équation d’onde sur-critique dans $ℝ^{d}$ , $□ u + u^{p} = 0$ , $p$ impair, avec $d \geq 3$ et $p > (d + 2) / (d - 2)$ , est mal posé dans $H^{σ}$ pour tout $σ \in] 1, σ_{crit} [$ , où $σ_{crit} = d / 2 - 2 / (p - 1)$ est l’exposant critique.

We prove that the local Cauchy problem for the supercritical wave equation in $ℝ^{d}$ , $□ u + u^{p} = 0$ , with $d \geq 3$ , $p > 3$ and $p > (d + 2) / (d - 2)$ , is ill-posed in $H^{σ}$ for every $σ \in] 1, σ_{c} [$ , where $σ_{c} = d / 2 - 2 / (p - 1)$ is the critical exponent.

Publié le : 2005-01-01

MR 2145023 | Zbl 1071.35020

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2482
Classification: 35L05, 35L15
Mots clés: analyse microlocale, équations d'ondes non-linéaires

@article{BSMF_2005__133_1_145_0,
     author = {Lebeau, Gilles},
     title = {Perte de r\'egularit\'e pour les \'equations d'ondes sur-critiques},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     volume = {133},
     year = {2005},
     pages = {145-157},
     doi = {10.24033/bsmf.2482},
     mrnumber = {2145023},
     zbl = {1071.35020},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/BSMF_2005__133_1_145_0}
}

Lebeau, Gilles. Perte de régularité pour les équations d'ondes sur-critiques. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) pp. 145-157. doi : 10.24033/bsmf.2482. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2005__133_1_145_0/

Bibliographie

[1] P. Brenner & W. Von Wahl - « Global classical solutions of non-linear wave equations », Math. Z. 176 (1981), p. 87-121. | MR 606174 | Zbl 0457.35059

[2] J. Ginibre & G. Velo - « The global Cauchy problem for the non linear Klein-Gordon equation », Math.Z. 189 (1985), p. 487-505. | MR 786279 | Zbl 0549.35108

[3] H. Hochstadt - « On the Determination of a Hill's Equation from its Spectrum », Arch. Rat. Mech. Anal. 19 (1965), p. 353-362. | MR 181792 | Zbl 0128.31201

[4] K. Jörgens - « Das Anfangswertproblem in Grossen fur eine Klasse nichtlinearer Wellingleichungen », Math. Z. 77 (1961), p. 295-308. | MR 130462 | Zbl 0111.09105

[5] G. Lebeau - « Non linear optic and supercritical wave equation », Bull. Soc. Math. Liège 70 (2001), p. 267-306. | MR 1904059 | Zbl 1034.35137

[6] J.-L. Lions - Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non-linéaires, Dunod Gauthier-Villars, Paris, 1969. | MR 259693 | Zbl 0189.40603

[7] I. Segal - « The Global Cauchy Problem for a Relativistic Scalar Field with Power Interaction », Bull. Soc. Math. France 91 (1963), p. 129-135. | Numdam | MR 153967 | Zbl 0178.45403

[8] J. Shatah & M. Struwe - « Well-Posedness in the Energy Space for Semilinear Wave Equation with Critical Growth », I.M.R.N. 7 (1994), p. 303-309. | MR 1283026 | Zbl 0830.35086

[9] W. Strauss - « Nonlinear invariant wave equations », Invariant wave equations (Proc. “Ettore Majorana” Internat. School of Math. Phys., Erice, 1977), Lecture Notes in Phys., vol. 73, Springer, 1978, p. 197-249. | MR 498955