Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux

Ressayre, Nicolas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004), p. 543-567 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $G$ un groupe algébrique complexe réductif et connexe, $B$ un sous-groupe de Borel de $G$ et $H$ un sous-groupe sphérique de $G$. Soit $X$ un plongement $G\times G$-équivariant de $G$. Nous savons que $B\times H$ n’a qu’un nombre fini d’orbites dans $G$ ; nous montrons qu’il n’en a qu’un nombre fini dans $X$. Soit $\overline{V}$ l’adhérence dans $X$ d’une orbite de $B\times H$ dans $G$ et $\overline{\mathcal {O}} $ l’adhérence d’une orbite de $G\times G$ dans $X$. Si $X$ est toroïdal, nous montrons que l’intersection $\overline{V}\cap \overline{\mathcal {O}} $ est propre dans $X$ et la décrivons ensemblistement. Si de plus $X$ est lisse, nous calculons les multiplicités d’intersections qui sont des puissances de $2$. Enfin, si $X$ est toroïdal, lisse et complet, nous exprimons la classe de cohomologie de $\overline{V}$ comme une combination linéaire des classes d’adhérence dans $X$ d’orbites de $B\times B$ dans $G$. Nous utilisons la cohomologie $B$-équivariante pour obtenir ce dernier résultat. Soit $Y$ un plongement lisse $G$-équivariant et toroïdal de $G/H$ et $\overline{\mathcal {O}} $ l’adhérence d’une orbite de $G$ dans $Y$. Soit $\overline{V}$ l’adhérence dans $Y$ d’une orbite de $B$ dans $G/H$. Dans [4], après la proposition6, M.Brion demande si chaque composante irréductible de $\overline{V}\cap \overline{\mathcal {O}} $ contient des points lisses de $\overline{V}$ : nous répondons négativement à cette question dans la dernière partie.

Abstract

Let $G$ be a complex reductive algebraic group, $B$ be a Borel subgroup of $G$ and $H$ be a spherical subgroup of $G$. Let $X$ be a $G\times G$-equivariant embedding of $G$. We know that $B\times H$ have finitely many orbits in $G$ ; we show that it has finitely many ones in $X$. Let $\overline{V}$ be the closure in $X$ of a $(B\times H)$-orbit in $G$, and $\overline{\mathcal {O}} $ be the closure of a $(G\times G)$-orbit in $X$. If $X$ is toroïdal, we show that the intersection $\overline{V}\cap \overline{\mathcal {O}} $ is proper in $X$ and we describe this intersection. If in addition $X$ is smooth, we determine the intersection multiplicities of $\overline{V}\cap \overline{\mathcal {O}} $, which are powers of $2$. If $X$ is toroïdal, smooth and complete, we write the class of cohomology of $\overline{V}$ as a linear combinaison of the classes of the closures in $X$ of the $(B\times B)$-orbits in $G$. The proof of this last statement uses $B$-equivariant cohomology. Let $Y$ be a smooth $G$-equivariant embedding of $G/H$ and $\overline{\mathcal {O}} $ be the closure of a $G$-orbit in $Y$. Let $\overline{V}$ be the closure in $Y$ of a $B$-orbit in $G/H$. In [4], just after Proposition6, M.Brion asks if each irreducible component of $\overline{V}\cap \overline{\mathcal {O}} $ intersects the set of the smooth points in $\overline{V}$: we give an example which answers ‘no’ to this question.

Détail

Publié le : 2004-01-01

MR 2131903 | Zbl 1076.14073

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2473
Classification:  14M15,  14M17,  14C17,  55N91
Mots clés: plongement de groupes, variétés sphériques, adhérences d'orbites, variété des drapeaux, cohomologie équivariante

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