Dual Blobs and Plancherel Formulas

[Blobs duaux et formule de Plancherel]

Kim, Ju-Lee

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004), p. 55-80 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $k$ un corps $p$-adique, $\mathsf {G}$ un groupe réductif connexe défini sur $k$, $G$ son groupe de points $k$-rationnels et $\mathfrak {g}$ l’algèbre de Lie de $\mathsf {G}$. Sous certaines hypothèses, nous quantifions le dual tempéré $\widehat{G}$ de $G$ par la formule de Plancherel sur $\mathfrak {g}$, en utilisant des développements en caractères. Pour cela, il faut en particulier mettre en correspondance les facteurs de la décomposition spectrale de la formule de Plancherel sur $\mathfrak {g}$ et sur $G$. Comme conséquence, nous démontrons que toute représentation tempérée contient un bon $\mathsf {K}$-type minimal ; nous étendons aussi ce résultat aux représentations admissibles irréductibles.

Abstract

Let $k$ be a $p$-adic field. Let $G$ be the group of $k$-rational points of a connected reductive group $\mathsf {G}$ defined over $k$, and let $\mathfrak {g}$ be its Lie algebra. Under certain hypotheses on $\mathsf {G}$ and $k$, we quantify the tempered dual ${\widehat{G}}$ of $G$ via the Plancherel formula on $\mathfrak {g}$, using some character expansions. This involves matching spectral decomposition factors of the Plancherel formulas on $\mathfrak {g}$ and $G$. As a consequence, we prove that any tempered representation contains a good minimal $\mathsf {K}$-type; we extend this result to irreducible admissible representations.

Détail

Publié le : 2004-01-01

MR 2075916 | Zbl 1047.22015

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2459
Classification:  22E50,  22E35,  20G25
Mots clés: représentation, groupes $p$-adiques, formule de Plancherel, développements en caractères

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