Generic points in the cartesian powers of the Morse dynamical system
[Points génériques dans les puissances cartésiennes du système dynamique de Morse]
Lesigne, Emmanuel ; Quas, Anthony ; Wierdl, Máté
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003), p. 435-464 / Harvested from Numdam
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Le système dynamique symbolique associé à la suite de Morse est strictement ergodique. Nous décrivons certaines propriétés topologiques et métriques des puissances cartésiennes de ce système, et de certains de ses auto-couplages. Nous montrons en particulier que des points non génériques apparaissent dans la puissance quatrième du système mais n'apparaissent pas dans les puissances inférieures. Nous présentons divers exemples et contre-exemples illustrant la notion de disjonction faible de systèmes dynamiques mesurés.

The symbolic dynamical system associated with the Morse sequence is strictly ergodic. We describe some topological and metrical properties of the Cartesian powers of this system, and some of its other self-joinings. Among other things, we show that non generic points appear in the fourth power of the system, but not in lower powers. We exhibit various examples and counterexamples related to the property of weak disjointness of measure preserving dynamical systems.

Publié le : 2003-01-01
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2450
Classification:  37A05,  37B05,  37B10,  28D05,  11B75
Mots clés: dynamique topologique, théorie ergodique, systèmes dynamiques symboliques, suite de Morse, couplages, points génériques, disjonction faible 
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     author = {Lesigne, Emmanuel and Quas, Anthony and Wierdl, M\'at\'e},
     title = {Generic points in the cartesian powers of the Morse dynamical system},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     volume = {131},
     year = {2003},
     pages = {435-464},
     doi = {10.24033/bsmf.2450},
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Lesigne, Emmanuel; Quas, Anthony; Wierdl, Máté. Generic points in the cartesian powers of the Morse dynamical system. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) pp. 435-464. doi : 10.24033/bsmf.2450. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2003__131_3_435_0/

[1] H. Furstenberg - « Strict ergodicity and transformations of the torus », Amer. J. Math 83 (1961), p. 573-601. | MR 133429 | Zbl 0178.38404

[2] E. Lesigne, C. Mauduit & B. Mossé - « Le théorème ergodique le long d’une suite q-multiplicative », Comp. Math. 93 (1994), p. 49-79. | Numdam | MR 1286798 | Zbl 0818.28006

[3] E. Lesigne, A. Quas, T. De La Rue & B. Rittaud - « Weak disjointness in ergodic theory », Proceedings of the Conference on Ergodic Theory and Dynamical Systems, Toruń 2000, Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicholas Copernicus University, Toruń, Poland, 2001.

[4] E. Lesigne, B. Rittaud & T. De La Rue - « Weak disjointness of measure preserving dynamical systems », to appear in Ergodic Theory & Dynamycal Systems. Available in PDF format as http://www.csi.hu/mw/Weak-Disj.TEB.2.pdf and in DVI format as http://www.csi.hu/mw/Weak-Disj.TEB.2.dvi. | Zbl 1083.37003

[5] C. Mauduit - « Substitutions et ensembles normaux », Habilitation à diriger des recherches, Université Aix-Marseille II, 1989.

[6] M. Morse - « Recurrent geodesics on a surface of negative curvature », Trans. Amer. Math. Soc. 22 (1921), p. 84-100. | JFM 48.0786.06 | MR 1501161

[7] E. Prouhet - « Mémoire sur quelques relations entre les puissances des nombres », C. R. Acad. Sci. Paris 33 (1851), p. 225.

[8] A. Thue - « Uber unendliche Zeichenreihen (1906), uber die gegenseitige lage gleicher teile gewisser zeichenreihen (1912) », Selected mathematical papers of Axel Thue, Universitetsforlaget, 1977. | JFM 39.0283.01