Une caractérisation de la correspondance de Langlands locale pour ${\rm GL}(n)$

Henniart, Guy

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002), p. 587-602 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $F$ un corps commutatif localement compact non archimédien et $\psi $ un caractère non trivial du groupe additif de $F$. La correspondance de Langlands locale donne, pour chaque entier $n\ge 1$, une bijection $\sigma \mapsto \pi _n(\sigma )$ de l'ensemble ${\mathcal{G}}_F(n)$ des classes d'isomorphisme de représentations de dimension $n$ du groupe de Weil-Deligne de $F$ sur l'ensemble ${\mathcal{A}}_F(n)$ des classes d'isomorphisme de représentations lisses irréductibles de $\mathrm{GL}_n(F)$. La bijection $\pi _1$ est donnée par la théorie locale du corps de classes, et pour $\sigma \in {\mathcal{G}}_F(n)$, $\sigma ^{\prime }\in {\mathcal{G}}_F(n^{\prime })$, on a $ L(s,\sigma \otimes \sigma ^{\prime }) =L(s,\pi _n(\sigma )\times \pi _{n^{\prime }}(\sigma ^{\prime }))$, $\varepsilon (s,\sigma \otimes \sigma ^{\prime },\psi ) =\varepsilon (s,\pi _n(\sigma )\times \pi _{n^{\prime }}(\sigma ^{\prime }),\psi ). $ Nous prouvons que ces propriétés caractérisent la famille d'applications $(\pi _n)$.

Abstract

Let $F$ be a locally compact non-Archimedean field and $\psi $ a non-trivial additive character of $F$. The local Langlands correspondence gives for each positive integer $n$ a one-to-one map $\sigma \mapsto \pi _n(\sigma )$ from the set ${\mathcal{G}}_F(n)$ of isomorphism classes of degree $n$ representations of the Weil-Deligne group of $F$ onto the set ${\mathcal{A}}_F(n)$ of isomorphism classes of smooth irreducible representations of $\mathrm{GL}_n(F)$. Class-field theory gives the map $\pi _1$ and for $\sigma \in {\mathcal{G}}_F(n)$, $\sigma ^{\prime }\in {\mathcal{G}}_F(n^{\prime })$, we have $ L(s,\sigma \otimes \sigma ^{\prime }) =L(s,\pi _n(\sigma )\times \pi _{n^{\prime }}(\sigma ^{\prime }))$, $\varepsilon (s,\sigma \otimes \sigma ^{\prime },\psi ) =\varepsilon (s,\pi _n(\sigma )\times \pi _{n^{\prime }}(\sigma ^{\prime }),\psi ). $ We prove that such properties characterize the family of maps $(\pi _n)$.

Détail

Publié le : 2002-01-01

MR 1947454 | Zbl 1029.22023 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2431
Classification:  22E50
Mots clés: corps local, correspondance de Langlands, fonction $L$, facteur $\varepsilon $

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