On étudie la taille des ensembles de dérivées des fonctions bosses sur l’espace de Hilbert , ainsi que celle de l’ensemble des hyperplans tangents à un corps étoilé dans . On trouve que ces ensembles peuvent être assez petits. D’un côté, la norme de l’espace de Hilbert peut s’approximer uniformément par des fonctions de classe et lipschitziennes telles que les cônes générés par les images des dérivées sont d’intérieur vide. Cela entraîne l’existence de fonctions de classe et lipschitziennes dont les cônes générés par les images des dérivées sont d’intérieur vide. On construit d’autre part des corps étoilés bornés lisses de classe et lipschitziens dont les cônes générés par leurs hyperplans tangents sont d’intérieur vide. On montre aussi pourquoi ces résultats constituent la meilleure réponse à ces questions que l’on puisse espérer.
We study the size of the sets of gradients of bump functions on the Hilbert space , and the related question as to how small the set of tangent hyperplanes to a smooth bounded starlike body in can be. We find that those sets can be quite small. On the one hand, the usual norm of the Hilbert space can be uniformly approximated by smooth Lipschitz functions so that the cones generated by the ranges of its derivatives have empty interior. This implies that there are smooth Lipschitz bumps in so that the cones generated by their sets of gradients have empty interior. On the other hand, we construct -smooth bounded starlike bodies , which approximate the unit ball, so that the cones generated by the hyperplanes which are tangent to have empty interior as well. We also explain why this is the best answer to the above questions that one can expect.
@article{BSMF_2002__130_3_337_0,
author = {Azagra, Daniel and Jim\'enez-Sevilla, Mar},
title = {On the size of the sets of gradients of bump functions and starlike bodies on the Hilbert space},
journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
volume = {130},
year = {2002},
pages = {337-347},
doi = {10.24033/bsmf.2422},
mrnumber = {1943881},
zbl = {1034.46016},
language = {en},
url = {http://dml.mathdoc.fr/item/BSMF_2002__130_3_337_0}
}
Azagra, Daniel; Jiménez-Sevilla, Mar. On the size of the sets of gradients of bump functions and starlike bodies on the Hilbert space. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) pp. 337-347. doi : 10.24033/bsmf.2422. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2002__130_3_337_0/
[1] & - « James' theorem fails for starlike bodies », J. Funct. Anal. 180 (2001), p. 328-346. | MR 1814992 | Zbl 0983.46016
[2] & - « The failure of Rolle's theorem in infinite dimensional Banach spaces », J. Funct. Anal. 182 (2001), p. 207-226. | MR 1829247 | Zbl 0995.46025
[3] , , & - « The range of the gradient of a continuously differentiable bump », J. Nonlinear Convex Anal. 2 (2001), no. 1, p. 1-19. | MR 1828155 | Zbl 0993.46023
[4] , & - Smoothness and renormings in Banach spaces, Monographies and Surveys in Pure and Applied Math., vol. 64, Pitman, 1993. | MR 1211634 | Zbl 0782.46019
[5] - « Rolle's theorem for polynomials of degree four in a Hilbert space », J. Math. Anal. Appl. 265 (2002), no. 2, p. 322-331. | MR 1876143 | Zbl 1086.46032
[6] - « Smooth functions on », Israel J. Math. 104 (1998), p. 17-27. | MR 1622271 | Zbl 0940.46023
[7] & - « A note on norm attaining functionals », Proc. Amer. Math. Soc. 126 (1998), no. 3, p. 1989-1997. | MR 1485482 | Zbl 0894.46011
[8] - « The Darboux property for gradients », Real Anal. Exchange 22 (1996/1997), p. 167-173. | MR 1433604 | Zbl 0879.26042
[9] - Convex functions, monotone operators and differentiability, Lecture Notes in Math., vol. 1364, Springer-Verlag, Berlin, 1989. | MR 984602 | Zbl 0658.46035
[10] - « On Rolle's theorem in infinite-dimensional Banach spaces », Mat. Zametki 51 (1992), no. 3, p. 128-136, English transl. | MR 1172237 | Zbl 0786.46044