An approximation property of quadratic irrationals

[Une approximation des irrationnels quadratiques]

Komatsu, Takao

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002), p. 35-48 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $\alpha >1$ un irrationnel. Plusieurs auteurs ont étudié les nombres ℓ m (α)=inf{|y|:y∈Λ m ,y≠0}, où $m$ est un entier positif et $\Lambda _m$ est l’ensemble de tous les réels de la forme $y=\epsilon _0\alpha ^n+\epsilon _1\alpha ^{n-1}+\cdots +\epsilon _{n-1}\alpha +\epsilon _n$ avec des $|\epsilon _i|\le m$ entiers. La valeur de $\ell ^1(\alpha )$ a été précisée pour beaucoup de nombres de Pisot et $\ell ^m(\alpha )$ pour le nombre d’or. Dans cet article, on détermine $\ell ^m(\alpha )$ lorsque $\alpha $ est un irrationnel qui satisfait $\alpha ^2=a\alpha \pm 1$ avec $a$ entier positif.

Abstract

Let $\alpha >1$ be irrational. Several authors studied the numbers ℓ m (α)=inf{|y|:y∈Λ m ,y≠0}, where $m$ is a positive integer and $\Lambda _m$ denotes the set of all real numbers of the form $y=\epsilon _0\alpha ^n+\epsilon _1\alpha ^{n-1}+\cdots +\epsilon _{n-1}\alpha +\epsilon _n$ with restricted integer coefficients $|\epsilon _i|\le m$. The value of $\ell ^1(\alpha )$ was determined for many particular Pisot numbers and $\ell ^m(\alpha )$ for the golden number. In this paper the value of $\ell ^m(\alpha )$ is determined for irrational numbers $\alpha $, satisfying $\alpha ^2=a\alpha \pm 1$ with a positive integer $a$.

Détail

Publié le : 2002-01-01

MR 1906191 | Zbl 1027.11047

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2411
Classification:  11A63,  11J04,  11J70
Mots clés: propriété d'approximation, nombres quadratiques irrationnels, fractions continues

Bibliographie

[1] Y. Bugeaud - « On a property of Pisot numbers and related questions », Acta Math. Hungar. 73 (1996), p. 33-39. | MR 1415918 | Zbl 0923.11148

[2] M. Djawadi & G. Hofmeister - « Linear diophantine problems », Arch. Math. (Basel) 66 (1996), p. 19-29. | MR 1363774 | Zbl 0854.11016

[3] P. Erdős, I. Joó & M. Joó - « On a problem of Tamás Varga », Bull. Soc. Math. France 120 (1992), p. 507-521. | Numdam | MR 1194274 | Zbl 0787.11002

[4] P. Erdős, I. Joó & V. Komornik - « Characterization of the unique expressions $1=\sum q^{-n_i}$ and related problems », Bull. Soc. Math. France 118 (1990), p. 377-390. | Numdam | MR 1078082 | Zbl 0721.11005

[5] -, « On the sequence of numbers of the form $\epsilon _0+\epsilon _1 q+\cdots +\epsilon _n q^n$, $\epsilon _i\in \lbrace 0,1\rbrace $ », Acta Arith. 83 (1998), p. 201-210. | MR 1611185 | Zbl 0896.11006

[6] P. Erdős & V. Komornik - « On developments in noninteger bases », Acta Math. Hungar. 79 (1998), p. 57-83. | MR 1611948 | Zbl 0906.11008

[7] V. Komornik & P. Loreti - « Unique developments in non-integer bases », Amer. Math. Monthly 105 (1998), p. 636-639. | MR 1633077 | Zbl 0918.11006

[8] V. Komornik, P. Loreti & M. Pedicini - « An approximation property of Pisot numbers », J. Number Theory 80 (2000), p. 218-237. | MR 1740512 | Zbl 0962.11034

[9] T. Van Ravenstein - « The three gap theorem (Steinhaus conjecture) », J. Austral. Math. Soc. Ser. A 45 (1988), p. 360-370. | MR 957201 | Zbl 0663.10039

[10] W. Schmidt - Diophantine approximation, Lecture Notes in Math., vol. 785, Springer-Verlag, 1980. | MR 568710 | Zbl 0421.10019