Axiom A versus Newhouse phenomena for Benedicks-Carleson toy models

[Axiome A versus phénomène de Newhouse pour les modèles jouets de Benedicks-Carleson]

Matheus, Carlos ; Moreira, Carlos G. ; Pujals, Enrique R.

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 46 (2013), p. 857-878 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous considérons une famille de systèmes introduite en 1991 par Benedicks et Carleson comme un modèle jouet pour la dynamique des applications d’Hénon. Nous montrons que l’axiome A de Smale est une propriété $C^1$-dense parmi les systèmes dans cette famille, même si nous trouvons aussi des ensembles $C^2$-ouverts (liés au phénomène de Newhouse) où l’axiome A de Smale n’est pas satisfait. En particulier, notre résultat soutient la conjecture de Smale selon laquelle l’axiome A est une propriété $C^1$-dense parmi les difféomorphismes de surfaces. Les outils utilisés dans la preuve de notre résultat sont  : (1) un théorème récent de Moreira qui dit que les intersections stables des ensembles de Cantor dynamiques (une des obstructions majeures à l’axiome A pour les difféomorphismes de surfaces) peuvent être enlevées par des perturbations $C^1$-petites  ; (2) la bonne géométrie de l’ensemble de points critiques dynamiques (au sens de Rodriguez-Hertz et Pujals) due à la forme particulière des modèles jouets de Benedicks-Carleson.

Abstract

We consider a family of planar systems introduced in 1991 by Benedicks and Carleson as a toy model for the dynamics of the so-called Hénon maps. We show that Smale’s Axiom A property is $C^1$-dense among the systems in this family, despite the existence of $C^2$-open subsets (closely related to the so-called Newhouse phenomena) where Smale’s Axiom A is violated. In particular, this provides some evidence towards Smale’s conjecture that Axiom A is a $C^1$-dense property among surface diffeomorphisms. The basic tools in the proof of this result are: (1) a recent theorem of Moreira saying that stable intersections of dynamical Cantor sets (one of the main obstructions to Axiom A property for surface diffeomorphisms) can be destroyed by $C^1$-perturbations; (2) the good geometry of the dynamical critical set (in the sense of Rodriguez-Hertz and Pujals) thanks to the particular form of Benedicks-Carleson toy models.

Détail

Publié le : 2013-01-01
DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2204
Classification:  37D40,  37D20
Mots clés: axiome A, phénomène de Newhouse, modèles jouets de Benedicks-Carleson, applications d'Hénon, points critiques dynamiques, intersections stables des ensembles de Cantor dynamiques, systèmes dynamiques en dimension deux

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