Finiteness of cominuscule quantum $K$-theory

[Finitude de la $K$-théorie quantique cominuscule]

Buch, Anders S. ; Chaput, Pierre-Emmanuel ; Mihalcea, Leonardo C. ; Perrin, Nicolas

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 46 (2013), p. 477-494 / Harvested from Numdam

Résumé

Le produit de deux classes de Schubert dans l’anneau de $K$-théorie quantique d’un espace homogène $X=G/P$ est une série formelle à coefficients dans l’anneau de Grothendieck des fibrés vectoriels algébriques au-dessus de $X$. Nous montrons que pour $X$ cominuscule, cette série formelle n’a qu’un nombre fini de termes non nuls. La preuve repose sur une étude géométrique de certaines variétés de Gromov-Witten contenues dans le bord de l’espace de modules de Kontsevitch. Ces variétés paramètrent des applications stables à valeurs dans $X$, dont la courbe source est une union réductible de courbes rationnelles, et qui envoient les points marqués dans des sous-variétés de Schubert générales. Nous montrons que ces variétés de Gromov-Witten sont à singularités rationnelles et que celles définies par seulement deux sous-variétés de Schubert sont soit vides soit unirationnelles. Nous présentons également un énoncé relatif, de type Kleiman-Bertini pour les singularités rationnelles, d’intérêt indépendant. Un résultat-clé pour notre preuve est le fait que toutes les variétés de Gromov-Witten du bord de l’espace de modules de Kontsevitch, définies par trois variétés de Schubert ponctuelles dans $X$, sont rationnellement connexes.

Abstract

The product of two Schubert classes in the quantum $K$-theory ring of a homogeneous space $X = G/P$ is a formal power series with coefficients in the Grothendieck ring of algebraic vector bundles on $X$. We show that if $X$ is cominuscule, then this power series has only finitely many non-zero terms. The proof is based on a geometric study of boundary Gromov-Witten varieties in the Kontsevich moduli space, consisting of stable maps to $X$ that take the marked points to general Schubert varieties and whose domains are reducible curves of genus zero. We show that all such varieties have rational singularities, and that boundary Gromov-Witten varieties defined by two Schubert varieties are either empty or unirational. We also prove a relative Kleiman-Bertini theorem for rational singularities, which is of independent interest. A key result is that when $X$ is cominuscule, all boundary Gromov-Witten varieties defined by three single points in $X$ are rationally connected.

Détail

Publié le : 2013-01-01
DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2194
Classification:  14N35,  19E08,  14N15,  14M15,  14M20,  14M22
Mots clés: $K$-théorie quantique, variétés de Gromov-Witten, singularités rationnelles, connexité rationnelle, calcul de Schubert quantique, grassmanniennes cominuscules

Bibliographie

[1] M. Brion, Positivity in the Grothendieck group of complex flag varieties, J. Algebra 258 (2002), 137-159. | MR 1958901

[2] M. Brion, Lectures on the geometry of flag varieties, in Topics in cohomological studies of algebraic varieties, Trends Math., Birkhäuser, 2005, 33-85. | MR 2143072

[3] A. S. Buch & L. C. Mihalcea, Quantum $K$-theory of Grassmannians, Duke Math. J. 156 (2011), 501-538. | MR 2772069

[4] A. S. Buch, Quantum cohomology of Grassmannians, Compositio Math. 137 (2003), 227-235. | MR 1985005

[5] A. S. Buch, A. Kresch & H. Tamvakis, Gromov-Witten invariants on Grassmannians, J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), 901-915. | MR 1992829

[6] A. S. Buch & V. Ravikumar, Pieri rules for the $K$-theory of cominuscule Grassmannians, J. reine angew. Math. 668 (2012), 109-132. | MR 2948873

[7] P.-E. Chaput, L. Manivel & N. Perrin, Quantum cohomology of minuscule homogeneous spaces, Transform. Groups 13 (2008), 47-89. | MR 2421317

[8] P.-E. Chaput & N. Perrin, On the quantum cohomology of adjoint varieties, Proc. Lond. Math. Soc. 103 (2011), 294-330. | MR 2821244

[9] P.-E. Chaput & N. Perrin, Rationality of some Gromov-Witten varieties and application to quantum $K$-theory, Commun. Contemp. Math. 13 (2011), 67-90. | MR 2772579

[10] O. Debarre, Higher-dimensional algebraic geometry, Universitext, Springer, 2001. | MR 1841091

[11] W. Fulton & R. Pandharipande, Notes on stable maps and quantum cohomology, in Algebraic geometry-Santa Cruz 1995, Proc. Sympos. Pure Math. 62, Amer. Math. Soc., 1997, 45-96. | MR 1492534

[12] W. Fulton & C. Woodward, On the quantum product of Schubert classes, J. Algebraic Geom. 13 (2004), 641-661. | MR 2072765

[13] A. Givental, On the WDVV equation in quantum $K$-theory, Michigan Math. J. 48 (2000), 295-304. | MR 1786492

[14] T. Graber, J. Harris & J. Starr, Families of rationally connected varieties, J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), 57-67. | MR 1937199

[15] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Grad. Texts Math. 52, Springer, 1977. | MR 463157

[16] J. De Jong, J. Starr & X. He, Families of rationally simply connected varieties over surfaces and torsors for semisimple groups, preprint arXiv:0809.5224.

[17] B. Kim & R. Pandharipande, The connectedness of the moduli space of maps to homogeneous spaces, in Symplectic geometry and mirror symmetry (Seoul, 2000), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2001, 187-201. | MR 1882330

[18] S. L. Kleiman, The transversality of a general translate, Compositio Math. 28 (1974), 287-297. | Numdam | MR 360616

[19] V. L. Popov, Generically multiple transitive algebraic group actions, in Algebraic groups and homogeneous spaces, Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math., Tata Inst. Fund. Res., 2007, 481-523. | MR 2348915

[20] T. A. Springer, Linear algebraic groups, second éd., Progress in Math. 9, Birkhäuser, 1998. | MR 632835

[21] O. E. Villamayor U., Patching local uniformizations, Ann. Sci. École Norm. Sup. 25 (1992), 629-677. | MR 1198092

[22] F. L. Zak, Tangents and secants of algebraic varieties, Translations of Mathematical Monographs 127, Amer. Math. Soc., 1993. | MR 1234494