Algebraic homotopy classes of rational functions

[Classes d'homotopie algébrique de fractions rationnelles]

Cazanave, Christophe

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 45 (2012), p. 511-534 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $k$ un corps. Nous déterminons l’ensemble ${\left[\mathbf {P}^1, \mathbf {P}^1 \right]}^{\mathrm {N}}$ des classes d’homotopie naïve d’endomorphismes pointés de $k$-schémas de la droite projective $\mathbf {P}^1$. Notre résultat se compare bien avec le calcul de Morel [11] du groupe ${\left[\mathbf {P}^1, \mathbf {P}^1 \right]}^{\mathbf {A}^1}$ des classes d’${\mathbf {A}^1}$-homotopie d’endomorphismes pointés de $\mathbf {P}^1$ : l’ensemble ${\left[\mathbf {P}^1, \mathbf {P}^1 \right]}^{\mathrm {N}}$ admet a priori une structure de monoïde pour laquelle l’application canonique ${\left[\mathbf {P}^1, \mathbf {P}^1 \right]}^{\mathrm {N}} \rightarrow {\left[\mathbf {P}^1, \mathbf {P}^1 \right]}^{\mathbf {A}^1}$ est une complétion en groupe.

Abstract

Let $k$ be a field. We compute the set ${\left[\mathbf {P}^1, \mathbf {P}^1 \right]}^{\mathrm {N}}$ of naive homotopy classes of pointed $k$-scheme endomorphisms of the projective line $\mathbf {P}^1$. Our result compares well with Morel’s computation in [11] of the group ${\left[\mathbf {P}^1, \mathbf {P}^1 \right]}^{\mathbf {A}^1}$ of ${\mathbf {A}^1}$-homotopy classes of pointed endomorphisms of $\mathbf {P}^1$: the set ${\left[\mathbf {P}^1, \mathbf {P}^1\right]}^{\mathrm {N}}$ admits an a priori monoid structure such that the canonical map ${\left[\mathbf {P}^1, \mathbf {P}^1 \right]}^{\mathrm {N}} \rightarrow {\left[\mathbf {P}^1, \mathbf {P}^1 \right]}^{\mathbf {A}^1}$ is a group completion.

Détail

Publié le : 2012-01-01

MR 3059240

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2172
Classification:  14F42,  55Q40,  12Y05
Mots clés: classes d'homotopie naïve, fractions rationnelles, droite projective, complétion en groupe

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