Théorie de Fontaine en égales caractéristiques

Genestier, Alain; Lafforgue, Vincent

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 44 (2011), p. 263-360 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Les chtoucas locaux sont des analogues en égales caractéristiques des groupes $p$ -divisibles - par exemple on leur associe un module de Tate, qui est un module libre sur l’anneau d’entiers d’un corps local $K$ de caractéristique positive. Nous associons à un chtouca local une structure de Hodge (ou, plus précisément, une structure de Hodge-Pink), ce qui induit un morphisme de périodes analogue à celui construit par Rapoport et Zink. Pour les structures de Hodge-Pink définies sur une extension finie de $K$ nous démontrons un analogue du théorème « faiblement admissible implique admissible » de Colmez et Fontaine. Nous développons aussi une théorie entière. Les démonstrations sont élémentaires et ne font pas intervenir de clôture algébrique de $K$ . Les arguments utilisés dans la théorie entière sont très proches de ceux qui interviennent dans la théorie rationnelle.

Local shtukas are analogs in equal characteristics of $p$ -divisible groups: for example one can associate to them a Tate module, which is a free module over the ring of integers of a local field $K$ of positive characteristic. We associate to a local shtuka a Hodge structure (or more precisely a Hodge-Pink structure) which gives rise to a period morphism analogous to the one constructed by Rapoport and Zink. For Hodge-Pink structures defined over a finite extension of $K$ we prove an analog of the “ weakly admissible implies admissible ” theorem of Colmez and Fontaine. We also develop an integral theory. The proofs are elementary and do not use an algebraic closure of $K$ . The arguments used in the integral theory are very close to those used in the rational theory.

Publié le : 2011-01-01

MR 2830388 | Zbl 1277.14036

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2144
Classification: 11G09, 13A35, 14F30, 14L05
Mots clés: théorie de Fontaine, Chtoucas, cristaux

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Genestier, Alain; Lafforgue, Vincent. Théorie de Fontaine en égales caractéristiques. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 44 (2011) pp. 263-360. doi : 10.24033/asens.2144. http://gdmltest.u-ga.fr/item/ASENS_2011_4_44_2_263_0/

Bibliographie

[1] V. Abrashkin, Galois modules arising from Faltings's strict modules, Compos. Math. 142 (2006), 867-888. | MR 2249533 | Zbl 1102.14032

[2] G. Anderson, Drinfeld motives, cours donné à Princeton du 27 octobre au 8 décembre 1987.

[3] L. Berger, Équations différentielles $p$ -adiques et $(φ, N)$ -modules filtrés, Astérisque 319 (2008), 13-38. | MR 2493215 | Zbl 1168.11019

[4] P. Berthelot, Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique $p > 0$ , Lect. Notes in Math. 407 (1974). | Zbl 0298.14012

[5] P. Berthelot, Cohomologie rigide et cohomologie rigide à supports propre, preprint 96-03 de l'université de Rennes, http://perso.univ-rennes1.fr/pierre.berthelot/publis/Cohomologie_Rigide_I.pdf, 1996.

[6] P. Berthelot, L. Breen & W. Messing, Théorie de Dieudonné cristalline. II, Lect. Notes in Math. 930 (1982). | Zbl 0516.14015

[7] P. Berthelot & W. Messing, Théorie de Dieudonné cristalline. I, in Journées de Géométrie Algébrique de Rennes (Rennes, 1978), Vol. I, Astérisque 63, Soc. Math. France, 1979, 17-37. | MR 563458 | Zbl 0414.14014

[8] P. Berthelot & W. Messing, Théorie de Dieudonné cristalline. III. Théorèmes d'équivalence et de pleine fidélité, in The Grothendieck Festschrift, Vol. I, Progr. Math. 86, Birkhäuser, 1990, 173-247. | MR 1086886 | Zbl 0753.14041

[9] P. Berthelot & A. Ogus, Notes on crystalline cohomology, Princeton Univ. Press, 1978. | MR 491705 | Zbl 0383.14010

[10] S. Bosch, U. Güntzer & R. Remmert, Non-Archimedean analysis, Grund. Math. Wiss. 261, Springer, 1984. | MR 746961 | Zbl 0539.14017

[11] N. Bourbaki, Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9, Masson, 1983. | MR 722608

[12] C. Breuil, Schémas en groupes et corps des normes, preprint http://www.ihes.fr/~breuil/PUBLICATIONS/groupesnormes.pdf, 1998.

[13] C. Breuil, Une application de corps des normes, Compositio Math. 117 (1999), 189-203. | MR 1695849 | Zbl 0933.11055

[14] C. Breuil, Integral $p$ -adic Hodge theory, in Algebraic geometry 2000, Azumino (Hotaka), Adv. Stud. Pure Math. 36, Math. Soc. Japan, 2002, 51-80. | MR 1971512 | Zbl 1046.11085

[15] X. Caruso, Représentations semi-stables de torsion dans le case $e r < p - 1$ , J. reine angew. Math. 594 (2006), 35-92. | MR 2248152 | Zbl 1134.14013

[16] P. Colmez & J.-M. Fontaine, Construction des représentations $p$ -adiques semi-stables, Invent. Math. 140 (2000), 1-43. | MR 1779803 | Zbl 1010.14004

[17] V. G. DrinfelʼD, Coverings of $p$ -adic symmetric domains, Funkcional. Anal. i Priložen. 10 (1976), 29-40 ; traduction : Funct. Anal. Appl. 10 (1976), 107-115. | MR 422290 | Zbl 0346.14010

[18] V. G. DrinfelʼD, Cohomology of compactified moduli varieties of $F$ -sheaves of rank $2$ , Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), 107-158 ; traduction : J. Soviet Math. 46 (1989), 1789-1821. | MR 918745 | Zbl 0672.14008

[19] V. G. DrinfelʼD, Moduli varieties of $F$ -sheaves, Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), 23-41 ; traduction : Funct. Anal. Appl. 21 (1987), 107-122. | MR 902291 | Zbl 0665.12013

[20] G. Faltings, Integral crystalline cohomology over very ramified valuation rings, J. Amer. Math. Soc. 12 (1999), 117-144. | MR 1618483 | Zbl 0914.14009

[21] G. Faltings, Group schemes with strict $𝒪$ -action, Mosc. Math. J. 2 (2002), 249-279. | MR 1944507 | Zbl 1013.11079

[22] J.-M. Fontaine, Groupes $p$ -divisibles sur les corps locaux, Astérisque 47-48 (1977). | MR 498610 | Zbl 0377.14009

[23] J.-M. Fontaine, Représentations $p$ -adiques des corps locaux. I, in The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math. 87, Birkhäuser, 1990, 249-309. | MR 1106901 | Zbl 0743.11066

[24] J.-M. Fontaine & G. Laffaille, Construction de représentations $p$ -adiques, Ann. Sci. École Norm. Sup. 15 (1982), 547-608. | Numdam | MR 707328 | Zbl 0579.14037

[25] F. Gardeyn, The structure of analytic $τ$ -sheaves, J. Number Theory 100 (2003), 332-362. | MR 1978461 | Zbl 1045.11040

[26] A. Genestier, Espaces symétriques de Drinfeld, Astérisque 234 (1996). | Zbl 0912.14015

[27] A. Grothendieck, Crystals and the de Rham cohomology of schemes, in Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, North-Holland, 1968, 306-358. | MR 269663 | Zbl 0215.37102

[28] A. Grothendieck, Groupes de Barsotti-Tate et cristaux, in Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1, Gauthier-Villars, 1971, 431-436. | MR 578496 | Zbl 0244.14016

[29] U. Hartl, On period spaces for $p$ -divisible groups, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008), 1123-1128. | MR 2464250 | Zbl 1161.14032

[30] U. Hartl, A dictionary between Fontaine-theory and its analogue in equal characteristic, J. Number Theory 129 (2009), 1734-1757. | MR 2524192 | Zbl 1186.11071

[31] U. Hartl, Period spaces in equal characteristic, preprint arXiv :math/0511686, to appear in Annals of Math..

[32] U. Hartl & R. Pink, Vector bundles with a Frobenius structure on the punctured unit disc, Compos. Math. 140 (2004), 689-716. | MR 2041777 | Zbl 1074.14028

[33] M. J. Hopkins & B. H. Gross, Equivariant vector bundles on the Lubin-Tate moduli space, in Topology and representation theory (Evanston, IL, 1992), Contemp. Math. 158, Amer. Math. Soc., 1994, 23-88. | MR 1263712 | Zbl 0807.14037

[34] L. Illusie, Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck), Astérisque 127 (1985), 151-198. | MR 801922 | Zbl 1182.14050

[35] M. Kapranov & É. Vasserot, Formal loops. II. A local Riemann-Roch theorem for determinantal gerbes, Ann. Sci. École Norm. Sup. 40 (2007), 113-133. | Numdam | MR 2332353 | Zbl 1129.14022

[36] N. M. Katz, Slope filtration of $F$ -crystals, in Journées de Géométrie Algébrique de Rennes (Rennes, 1978), Vol. I, Astérisque 63, Soc. Math. France, 1979, 113-163. | MR 563463 | Zbl 0426.14007

[37] N. M. Katz, Serre-Tate local moduli, Lect. Notes in Math. 868 (1981), 138-202. | MR 638600 | Zbl 0477.14007

[38] K. S. Kedlaya, Slope filtrations revisited, Doc. Math. 10 (2005), 447-525. | MR 2184462 | Zbl 1081.14028

[39] M. Kisin, Crystalline representations and $F$ -crystals, in Algebraic geometry and number theory, Progr. Math. 253, Birkhäuser, 2006, 459-496. | MR 2263197 | Zbl 1184.11052

[40] M. Kisin, Moduli of finite flat group schemes, and modularity, Ann. of Math. 170 (2009), 1085-1180. | MR 2600871 | Zbl 1201.14034

[41] G. Laffaille, Groupes $p$ -divisibles et modules filtrés : le cas peu ramifié, Bull. Soc. Math. France 108 (1980), 187-206. | Numdam | MR 606088 | Zbl 0453.14021

[42] L. Lafforgue, Une compactification des champs classifiant les chtoucas de Drinfeld, J. Amer. Math. Soc. 11 (1998), 1001-1036. | MR 1609893 | Zbl 1045.11041

[43] L. Lafforgue, Cours à l'Institut Tata sur les chtoucas de Drinfeld et la correspondance de Langlands, preprint IHÉS M/02/45 http://www.ihes.fr/~lafforgue/math/M02-45.pdf.

[44] S. G. Langton, Valuative criteria for families of vector bundles on algebraic varieties, Ann. of Math. 101 (1975), 88-110. | MR 364255 | Zbl 0307.14007

[45] T. Liu, On lattices in semi-stable representations : a proof of a conjecture of Breuil, Compos. Math. 144 (2008), 61-88. | MR 2388556 | Zbl 1133.14020

[46] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Math. 8, Cambridge Univ. Press, 1986. | MR 879273 | Zbl 0603.13001

[47] B. Mazur & W. Messing, Universal extensions and one dimensional crystalline cohomology, Lect. Notes in Math. 370 (1974). | MR 374150 | Zbl 0301.14016

[48] W. Messing, The crystals associated to Barsotti-Tate groups, Lect. Notes in Math. 264 (1972). | Zbl 0243.14013

[49] R. Pink, Hodge structures over function fields, preprint http://www.math.ethz.ch/~pink/ftp/HS.pdf, 1997.

[50] R. Pink, Uniformisierung von $t$ -Motiven, exposé du 12 juillet 2000.

[51] M. Rapoport & T. Zink, Period spaces for $p$ -divisible groups, Annals of Math. Studies 141, Princeton Univ. Press, 1996. | MR 1393439 | Zbl 0873.14039

[52] M. Rapoport & T. Zink, A finiteness theorem in the Bruhat-Tits building : an application of Landvogt's embedding theorem, Indag. Math. (N.S.) 10 (1999), 449-458. | MR 1819901 | Zbl 1029.20016

[53] J-P. Serre, Corps locaux, 2e éd., Publications de l'Université de Nancago VIII, Hermann, 1968. | MR 354618 | Zbl 0137.02601

[54] J-P. Serre, Classes des corps cyclotomiques (d'après K. Iwasawa), Sém. Bourbaki 1958/59, exp. no 174, réédition Soc. Math. France 5 (1995), 83-93. | Numdam | MR 1603459 | Zbl 0119.27603

[55] T. Zink, Windows for displays of $p$ -divisible groups, in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math. 195, Birkhäuser, 2001, 491-518. | MR 1827031 | Zbl 1099.14036