On the group of real analytic diffeomorphisms

[Sur le groupe des difféomorphismes analytiques réels]

Tsuboi, Takashi

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 42 (2009), p. 601-651 / Harvested from Numdam

Résumé

Le groupe des difféomorphismes analytiques réels d’une variété analytique réelle est un groupe riche. Il est dense dans le groupe des difféomorphismes lisses. Herman a montré que, pour le tore de dimension $n$, sa composante connexe de l’identité est un groupe simple. Pour les variétés $U(1)$ fibrées, pour les variétés admettant une action semi-libre spéciale de $U(1)$, et pour les variétés de dimension $2$ ou $3$ admettant une action non-triviale de $U(1)$, on montre que la composante de l’identité du groupe des difféomorphismes analytiques réels est un groupe parfait.

Abstract

The group of real analytic diffeomorphisms of a real analytic manifold is a rich group. It is dense in the group of smooth diffeomorphisms. Herman showed that for the $n$-dimensional torus, its identity component is a simple group. For $U(1)$ fibered manifolds, for manifolds admitting special semi-free $U(1)$ actions and for 2- or 3-dimensional manifolds with nontrivial $U(1)$ actions, we show that the identity component of the group of real analytic diffeomorphisms is a perfect group.

Détail

Publié le : 2009-01-01

Zbl 1181.58009

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2104
Classification:  57R52,  57R50,  58A07,  58F18,  57R30,  53C12,  58C15,  37C05
Mots clés: groupes de difféomorphismes, feuilletages, analytique réel, rotations, action de $U(1)$, fibrés en cercle

Bibliographie

[1] V. I. ArnolʼD, Small denominators. I. Mapping the circle onto itself, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 25 (1961), 21-86, (= Amer. Math. Soc. Translations 46 (1965), 213-284). | MR 140699 | Zbl 0152.41905

[2] A. Banyaga, The structure of classical diffeomorphism groups, Mathematics and its Applications 400, Kluwer Academic Publishers Group, 1997. | MR 1445290 | Zbl 0874.58005

[3] H. Cartan, Idéaux de fonctions analytiques de $n$ variables complexes, Ann. Sci. École Norm. Sup. 61 (1944), 149-197. | Numdam | MR 14472 | Zbl 0035.17103

[4] H. Cartan, Variétés analytiques réelles et variétés analytiques complexes, Bull. Soc. Math. France 85 (1957), 77-99. | Numdam | MR 94830 | Zbl 0083.30502

[5] D. B. A. Epstein, The simplicity of certain groups of homeomorphisms, Compositio Math. 22 (1970), 165-173. | Numdam | MR 267589 | Zbl 0205.28201

[6] H. Grauert, On Levi's problem and the imbedding of real-analytic manifolds, Ann. of Math. 68 (1958), 460-472. | MR 98847 | Zbl 0108.07804

[7] H. Grauert & R. Remmert, Coherent analytic sheaves, Grund. Math. Wiss. 265, Springer, 1984. | MR 755331 | Zbl 0537.32001

[8] R. C. Gunning, Introduction to holomorphic functions of several variables. Vol. II, The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, 1990. | MR 1057177 | Zbl 0699.32001

[9] S. Haller & J. Teichmann, Smooth perfectness through decomposition of diffeomorphisms into fiber preserving ones, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003), 53-63. | MR 1952858 | Zbl 1026.58007

[10] M.-R. Herman, Simplicité du groupe des difféomorphismes de classe ${C}^{\infty }$, isotopes à l’identité, du tore de dimension $n$, C. R. Acad. Sci. Paris 273 (1971), 232-234. | MR 287585 | Zbl 0217.49602

[11] M.-R. Herman, Sur le groupe des difféomorphismes ${\bf R}$-analytiques du tore, in Differential topology and geometry (Proc. Colloq., Dijon, 1974), Springer Lecture Notes in Math. 484, 1975, 36-42. | MR 420696 | Zbl 0321.58010

[12] U. Hirsch, Some remarks on analytic foliations and analytic branched coverings, Math. Ann. 248 (1980), 139-152. | MR 573345 | Zbl 0456.57006

[13] J. Mather, On the homology of Haefliger's classifying space, C.I.M.E. Differential Topology (1976), 71-116. | Zbl 0469.57021

[14] C. B. Morrey Jr., The analytic embedding of abstract real-analytic manifolds, Ann. of Math. 68 (1958), 159-201. | MR 99060 | Zbl 0090.38401

[15] J. Moser, A rapidly convergent iteration method and non-linear partial differential equations. I and II, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 20 (1966), 265-315 and 499-535. | Numdam | MR 199523 | Zbl 0144.18202

[16] P. Orlik & F. Raymond, Actions of ${\rm SO}(2)$ on 3-manifolds, in Proc. Conf. on Transformation Groups (New Orleans, La, 1967), Springer, 1968, 297-318. | MR 263112 | Zbl 0172.25402

[17] F. Raymond, Classification of the actions of the circle on $3$-manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 131 (1968), 51-78. | MR 219086 | Zbl 0157.30602

[18] H. L. Royden, The analytic approximation of differentiable mappings, Math. Ann. 139 (1960), 171-179. | MR 113229 | Zbl 0091.37003

[19] C. L. Siegel, Iteration of analytic functions, Ann. of Math. 43 (1942), 607-612. | MR 7044 | Zbl 0061.14904

[20] W. Thurston, Foliations and groups of diffeomorphisms, Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), 304-307. | MR 339267 | Zbl 0295.57014